第三章--网络基本拓扑性质(复杂网络学习笔记)
节点的度和平均度
- 度: \(节点i的度k指的是与节点i直接相连的边的个数\)
- 出度: 节点$i$指向其他节点的边数
- 入度: 其他节点指向节点$i$的边数
- 平均度: 网络中所有节点的度的平均值
- \(k_i\): 节点i的度
- \(<k>\): 网络的平均度
如果是加权网络G, 那么节点的度经过加权可以定义为出强度和入强度
网络稀疏性和稠密化
- 网络的密度: 一个包含$N$个节点的网络的密度$\rho$定义为网络中实际存在的边数$M$与最大可能的边数之比,即 \(\rho=\frac{M}{\frac{1}{2}N(N-1)}\) 对于有向网路, 上式中的1/2去掉即可.
如果当N趋于无穷大并且网络密度是一个常数,则表明实际是网络边数与$N^2$是同阶的, 那么则说该网络是稠密的.
- 平均度: \(<k>=\frac{2M}{N}\)
- 密度 : \(\rho = \frac{M}{\frac{1}{2}N(N-1)}\)
- 平均度和密度的关系: \(<k>=(N-1)\rho \approx N\rho\)
平均路径长度和直径
平均路径长度
- 最短路径: 网络中两个节点之间的
边数最少的路径称为最短路径 - 距离$d_$: 定义为节点i,j的最短路径的边数.
- 平均路径长度$L$: 定义为网络中任意两个节点距离的平均值 \(L=\frac{1}{\frac{1}{2}N(N-1)}\sum_{i>=j}d_{ij}\)
网络直径
- 网络直径D: 定义为网络中任意两个节点距离的最大值 \(D=max(d_{ij})\)
实际上,我们可能更关心的是网络中绝大部分用户对之间的距离,因此先给出以下定义:
- \(f(d)\): 统计网络中距离
等于$d$的连通的节点对占整个网络中连通的节点对的比例 - \(g(d\)): 统计网络中距离
不超过$d$的连通的节点对占整个网络中连通的节点对的比例
一般的, 如果直径$D$满足 \(g(D-1)<0.9, g(D)\ge0.9\) 那么就称D为该网络的有效直径.
最短路径算法
- Dijkstra算法: 一般用于求加权有向网路(权值为非负)中的节点之间最短路径
- bellman-ford算法: 用于存在权值为负的情况
聚类系数(clustering coefficient)
- 某个节点的
聚类系数刻画了该节点的邻居节点中任意一对节点,有连边的概率. \(C_i=某个点的聚类系数=\frac{该点的邻居节点之间实际存在的边数}{这些邻居节点可能存在的最大的边数}\) \(C_i=\frac{E_i}{k_i(k_i-1)/2}=\frac{2E_i}{k_i(k_i-1)}\)
其中
- \(E_i\) : 该点的邻居节点之间实际存在的边数
- $ k_i(k_i-1)/2$ : 这些邻居节点可能存在的最大的边数
度分布(degree distribution)
有连接才会有网络, 我们自然关心网络中节点的度的分布情况.
高斯分布(正太分布/钟型分布)
正太分布是针对连续性随机变量而言, 其对应的离散型随机变量,最常见的是泊松分布(poisson distribution) \(P(k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)
幂律分布(长尾分布/无标度分布)
幂律分布及其检验, 性质
用时再查阅资料.