JZOJ 5701. 【gdoi2018 day2】第一题 谈笑风生（magic)

Description

Input

Output

Sample Input

5 7 66
4 3 2 1 5
1 2
1 5
2 3
2 4
2 5
3 4
3 5

Sample Output

6 64

Data Constraint

Hint

Solution

• 这题的瓶颈就在于如何快速地求出边权的大小。

• 求出来后就可以直接二分答案+spfa了。

• 考虑莫比乌斯反演（设边两端的权值分别为 $n,m\ (n<m)$）：

• 设函数

  $$f(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(i+j)[gcd(i,j)=1]$$

• 显然我们要求的答案即为 $f[1]$ ，但是直接求 $f$ 并不容易，于是我们再设函数

  $$g(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(i+j)[d|gcd(i,j)]$$

• 那么则有：

  $$g(d)=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(di)$$

• 反演得：

  $$f(d)=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}g(di)*μ(i)$$

• 于是 $g$ 可以直接求，用两次等差数列求和来表示：(首项+末项)*项数/2。

• 第一次等差数列变换：

  $$g(d)=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}di*\lfloor\frac{m}{d}\rfloor+\frac{(d+\lfloor\frac{m}{d}\rfloor*d)*\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}{2}$$

• （原理就是 $i$ 的贡献和 $j$ 的贡献分开算，$j$ 的贡献满足等差数列的形式）

• 第二次等差数列变换：

  $$g(d)=\frac{(d+\lfloor\frac{m}{d}\rfloor*d)*\lfloor\frac{n}{d}\rfloor*\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}{2}+\frac{(d*\lfloor\frac{m}{d}\rfloor+d*\lfloor\frac{n}{d}\rfloor*\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)*\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}{2}$$ $$g(d)=\frac{d*(2+\lfloor\frac{n}{d}\rfloor+\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)*\lfloor\frac{n}{d}\rfloor*\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}{2}$$

• 原理也是一样，带 $i$ 的项满足等差数列的形式，而后面的常数项先提出来。

• 于是我们可以表示出 $f(d)$ ，即：

  $$f(d)=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}g(di)*μ(i)$$ $$f(d)=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\frac{di*(2+\lfloor\frac{n}{di}\rfloor+\lfloor\frac{m}{di}\rfloor)*\lfloor\frac{n}{di}\rfloor*\lfloor\frac{m}{di}\rfloor}{2}*μ(i)$$

• 那我们要求的 $f(1)\ (d=1)$ 就能长成这样：

  $$f(1)==\sum_{i=1}^{n}\frac{i*(2+\lfloor\frac{n}{i}\rfloor+\lfloor\frac{m}{i}\rfloor)*\lfloor\frac{n}{i}\rfloor*\lfloor\frac{m}{i}\rfloor}{2}*μ(i)$$

• 对于 $\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$ ，$\lfloor\frac{m}{i}\rfloor$ 这样的形式我们都可以分块解决（值最多只有 $O(\sqrt n+\sqrt m)$ 种）。

• 同时维护一个前缀和 $pre[i]$ 即可：

  $$pre[i]=\sum_{j=1}^{i}j*μ(j)$$

• 这样分块计算时就可以把值相同的一段段算了。

• 于是我们就快速地求出了边权，剩下的二分+spfa就很简单了。

• 总时间复杂度 $O(m*(\sqrt{A_x}+\sqrt{A_y})+km*log\ T)$ 。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e4+5;
int n,m,tot;
LL T,ans;
int first[N],nex[N<<2],en[N<<2];
LL w[N<<2];
int a[N],q[N*10],f[N],miu[N],pre[N];
bool bz[N];
LL dis[N];
inline int read()
{
    int X=0,w=0; char ch=0;
    while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
inline int min(int x,int y)
{
    return x<y?x:y;
}
inline void insert(int x,int y,LL z)
{
    nex[++tot]=first[x];
    first[x]=tot;
    en[tot]=y;
    w[tot]=z;
}
inline bool check(LL val)
{
    memset(dis,60,sizeof(dis));
    memset(bz,false,sizeof(bz));
    int l=dis[1]=0,r=q[1]=1;
    while(l<r)
    {
        if(dis[n]<=T) return true;
        int x=q[++l];
        bz[x]=false;
        for(int i=first[x];i;i=nex[i])
        {
            LL vv=w[i]-val<0?0:w[i]-val;
            if(dis[x]+vv<dis[en[i]])
            {
                dis[en[i]]=dis[x]+vv;
                if(!bz[en[i]]) bz[q[++r]=en[i]]=true;
            }
        }
    }
    return dis[n]<=T;
}
inline bool getans(LL val)
{
    memset(dis,60,sizeof(dis));
    memset(bz,false,sizeof(bz));
    int l=dis[1]=0,r=q[1]=1;
    while(l<r)
    {
        int x=q[++l];
        bz[x]=false;
        for(int i=first[x];i;i=nex[i])
        {
            LL vv=w[i]-val<0?0:w[i]-val;
            if(dis[x]+vv<dis[en[i]])
            {
                dis[en[i]]=dis[x]+vv;
                if(!bz[en[i]]) bz[q[++r]=en[i]]=true;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    freopen("magic.in","r",stdin);
    freopen("magic.out","w",stdout);
    n=read(),m=read();
    scanf("%lld",&T);
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    miu[1]=pre[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!bz[i])
        {
            f[++f[0]]=i;
            miu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=f[0] && i*f[j]<N;j++)
        {
            bz[i*f[j]]=true;
            if(i%f[j]==0)
            {
                miu[i*f[j]]=0;
                break;
            }
            miu[i*f[j]]=-miu[i];
        }
        pre[i]=pre[i-1]+miu[i]*i;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        int vx=a[x],vy=a[y];
        if(vx>vy) swap(vx,vy);
        LL sum=0;
        for(int j=1,p;j<=vx;j=p+1)
        {
            p=min(vx/(vx/j),vy/(vy/j));
            int xx=vx/p,yy=vy/p;
            sum+=(LL)xx*yy*(xx+yy+2)/2*(pre[p]-pre[j-1]);
        }
        insert(x,y,sum);
        insert(y,x,sum);
    }
    LL l=0,r=1e18;
    while(l<=r)
    {
        LL mid=l+r>>1;
        if(check(mid))
        {
            ans=mid;
            r=mid-1;
        }else l=mid+1;
    }
    getans(ans);
    printf("%lld %lld",ans,dis[n]);
    return 0;
}