JZOJ 5192. 【NOI2017模拟7.2】容器

Description

Input

Output

Sample Input

样例一：3 2 1
样例二：15 6 4

Sample Output

样例一：10
样例二：458177764

Data Constraint

Hint

样例一解释：

Solution

• 对于这种求方案数的问题，我们考虑DP。

• 我们考虑逐个位置填区间，比如说做到了第 $i$ 个容器。

• 那么在填了的区间（设共有 $j$ 个）中，肯定有些已经闭合了，有些尚未闭合（设为 $k$ 个）。

• 那么我们就得到了状态 $f[i][j][k]$ 表示此时的方案数，显然 $f[0][0][0]=1$ 。

• 如何转移呢？我们想想这时我们可以做什么，闭合某些尚未闭合的区间，开启新的未闭合的区间。

• 于是我们枚举两个值 $dec,inc$ 分别表示此时闭合区间的数量和将要开启新区间的数量。

• 由于这 $K$ 个区间是互不相同的，我们要需要处理出其顺序带来的方案数。

• 那么显然有转移式：

  $$f[i][j][k]*C_k^{dec}*C_{j+inc}^{inc}=>f[i+1][j+inc][k-dec+inc]$$

• 其中 $C_k^{dec}$ 表示在 $k$ 个未闭合的区间中选择 $dec$ 来闭合增加的组合方案。

• 而 $C_{j+inc}^{inc}$ 表示新增的 $inc$ 个区间在总共的 $j+inc$ 个区间中的排列顺序增加的组合方案。

• 而每个容器的容量为 $T$ 的限制就相当于在任意时刻未闭合的区间数量不超过 $T$ 。

• 答案即为 $f[n+1][k][0]$ 。

• 时间复杂度 $O(NK^4)$ 。

Code

#include<cstdio>
#include<cctype>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=45,mo=1011110011;
int n,k,T;
int f[N][N][N],c[N][N];
inline int read()
{
    int X=0,w=0; char ch=0;
    while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
int main()
{
    freopen("container.in","r",stdin);
    freopen("container.out","w",stdout);
    n=read(),k=read(),T=read();
    for(int i=0;i<N;i++) c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mo;
    f[0][0][0]=1;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=k;j++)
            for(int l=0;l<=j && l<=T;l++)
                if(f[i][j][l])
                    for(int inc=0;j+inc<=k;inc++)
                        for(int dec=0;dec<=l;dec++)
                            if(l-dec+inc<=T)
                                f[i+1][j+inc][l-dec+inc]=(f[i+1][j+inc][l-dec+inc]+
                                    (LL)f[i][j][l]*c[l][dec]%mo*c[j+inc][inc]%mo)%mo;
    printf("%d",f[n+1][k][0]);
    return 0;
}