非平稳序列的确定性分析

非平稳序列的分析方法：

$$\begin{cases} 确定性时序分析\\ 随机性时序分析\\ \end{cases}$$

由确定性因素导致的非平稳通常显示出明显的规律性
可以分解为4大类因素：
1、长期趋势
2、循环波动（or交易日因素）
3、季节性因素
4、随机波动
因素之间的相互作用模式：
加法模型：$x_t=T_t+C_t+S_t+T_t$
乘法模型：$x_t=T_t×C_t×S_t×T_t$

分析目的：

1. 单纯测度某一个因素对序列的影响
2. 测度各个因素之间的相互作用以及他们对序列的综合影响

一、 趋势分析

1、趋势拟合法

找到序列中的趋势，利用这种趋势对未来做预测

①线性拟合

线性模型：

$$\begin{cases} x_t=a+bt+I_t\\ E(I_t)=0,Var(I_t)=σ^2\\ \end{cases}$$
$I_t$为随机波动
利用 lm( ) 函数拟合线性趋势

#读入数据
x<-c(8444,9215,8879,8990,8115,9457,8590,9294,8997,9574,9051,9724,9120,
     + 10143,9746,10074,9578,10817,10116,10779,9901,11266,10686,10961,10121,
     + 11333,10677,11325,10698,11624,11502,11393,10609,12077,11376,11777,
     + 11225,12231,11884,12109)
#构造时间变量
t<-c(1:40)
x.fit<-lm(x~t)
summary(x.fit)

x<-ts(x)
plot(x,lwd=2.5)
abline(lm(x~t),col="red",lwd=3)

②曲线拟合

对曲线模型估计时，应通过变换将其转换为线性模型，再用最小二乘估计，用 lm( ) 函数拟合；
不能转换的就用迭代法估计，用 nls（）函数

例如，下面的例子，对1949-2008年的化肥产量进行曲线拟合：$x_t=a_0+a_1t+a_2t^2$

a=read.table("D:\\Backup\\桌面\\R\\时间序列分析--基于R\\data\\file12.csv",sep = ",",header = T)
x<-ts(a$output,start = 1949)
plot(x)

　　　　时序图显示有明显的曲线递增趋势。

#lm()拟合
t1<-c(1:60)
t2<-t1^2
x.fit1<-lm(x~t1+t2)
summary(x.fit1)

#nls拟合
x.fit2<-nls(x~a+b*t1+c*t1^2,start = list(a=1,b=1,c=1))  #start指定迭代初始值
summary(x.fit2)

可见，两个函数的拟合结果一样:
$x_t=319.0225-57.7690t+2.3551t^2+ε_t,ε_t\thicksim N(0,263^2)$

绘制非线性拟合图：

y<-predict(x.fit2) #将nls得到的拟合值赋给y
y<-ts(y,start = 1949)
plot(x,type="p")
lines(y,col=2,lwd=2.5)

2、平滑法

①移动平均法

用一定时间间隔内的加权平均值作为下一期的预测值，权重为 $\frac{1}{n}$，说明无论时间远近，过去的 n 期对下一期的影响是一样的。
如：在一个有30个序列值得时间序列当中，假如用4期的的加权平均值预测第31期，那么$\hat{x}_{30}(1)=\frac{x_{30}+x_{29}+x_{28}+x_{27}+x_{26}}{5}$

利用TTR包中的SMA函数进行拟合简单移动平均趋势趋势

如：对北京1949-2008年的每年最高气温序列做5期移动平均拟合

library(TTR)
a=read.table("D:\\Backup\\桌面\\R\\时间序列分析--基于R\\data\\file6.csv",sep = ",",header = T)
x<-ts(a$temp,start = 1949)
x.ma<-SMA(x,5) 
plot(x,type="o",lwd=1.5)
lines(x.ma,col=2,lwd=2.5)
legend(locator(1),cex=0.75,x.intersp=0.3,xjust = 0,yjust = 1, text.width=17,inset=5,c("观察值序列","5期移动平均拟合值序列"),lty = c(1,1),col = c("black","red")) 

②指数平滑法

在实际当中，大多数是近期对现在的影响较大，远期对现在的影响较小，所以在指数平滑法中各期权重随时间间隔的增大而减小

• 简单指数平滑:

$\hat{x}_t(1)=\tilde{x}_t=\alpha x_t+(1-\alpha)\tilde{x}_{t-1}$，指定$\tilde{x}_0=x_1$，变化缓慢的序列，取较小的 α 值，反之取较大的 α 值。
只能做1期预测

• Holt两参数指数平滑

  适用于含有线性趋势的序列
  思想：假定序列有较固定的趋势–每期都递增or递减 r ，那么第 t 期的 估计值就等于前一期的值加上固定的趋势变动值 r。但 r 不是固定的，是一个随机序列${r_t}$ 。

• Holt三参数指数平滑

  适合序列既含有趋势又含有季节

利用 HoltWinters( ) 函数做平滑趋势拟合

例如：对每头奶牛月产量序列做3参数指数平滑，并预测未来两年产量

b<-read.table("D:\\Backup\\桌面\\R\\时间序列分析--基于R\\data\\file5.csv",sep = ",",header = T)
x<-ts(b$milk,start = c(1962,1),frequency = 12)
x.fit<-HoltWinters(x)
plot(x.fit)
legend(locator(1),cex=0.75,x.intersp=0.3,xjust = 0,yjust = 1, text.width=5,inset=5,c("观察值序列","Holt三参数指数平滑序列"),lty = c(1,1),col = c("black","red")) 

#预测序列并绘制预测效果图
x.fore<-forecast(x.fit,h=24)
plot(x.fore,main = "HoltWinters三参数指数平滑序列预测图")

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二、 季节效应分析

有周期性变化的事件—-季节效应

例如：第 i 年第 j 个月的气温：

$$x_{ij}=总平均气温×第j各月的季节指数+随机波动=\bar{x}\cdot S_j+I_{ij}$$
季节指数: $S_j=\frac{各月平均气温}{总平均气温}$，＞1说明该月的值高于平均值，=1没有明显的季节效应

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三、综合分析

分析既有趋势变动又有季节效应的序列

模型：
加法模型：$x_t=T_t+S_t+T_t$
乘法模型：$x_t=T_t×S_t×T_t$

利用函数decompose(x,type= )进行确定性因素分解。
type=”additive”，加法模型，默认
type=”mult”，乘法模型

例：对1993-2000年中国消费品零售总额序列进行确定性因素分解

c<-read.table("D:\\Backup\\桌面\\R\\时间序列分析--基于R\\data\\file14.csv",sep = ",",header = T)
x<-ts(c$sales,start = c(1993,1),frequency = 12)
plot(x)

x.fit<-decompose(x,type = "mult")
plot(x.fit)

输出季节指数图

plot(x.fit$figure,type="o")

可见，在冬天零售总额偏高

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