P2512 [HAOI2008]糖果传递 题解

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简要题意：

一开始每个人有若干糖果，每个人每次将 $1$ 个糖果传递给 相邻（认为 $1$ 号与 $n$ 号也相邻）的一个人 需要 $1$ 的代价。求让所有人的糖果一样的最小代价。

显然，如果 $1$ 号与 $n$ 号不相邻，那就退化了成了 P1031 均分纸牌，但 理想是美好的，现实是残酷的，所以我们要着手环的问题。

算法一

破环为链。

考虑在哪里把环切断，然后暴力跑均分纸牌的贪心。

时间复杂度： $O(n^2)$.

实际得分： $0pt$ ~ $100pts$.（出题人没写部分分）

算法二

首先我们算出 $\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}$ 即平均数。

然后，用 $x_i$ 表示 $i$ 号给了 $i-1$ 号若干糖果，而 $x_1$ 就是 $1$ 号给了 $n$ 号若干糖果。如果 $x_i < 0$ 则说明是 $i-1$ 号（ $i=1$ 时为 $n$ 号） 给了 $i$ 号若干糖果。并用 $c_i$ 表示 $i$ 号节点 比平均糖果多的值，少则为负数，然后 $c_i$ 对自己做前缀和。

这时，我们想要最小化 $x_i$ 的绝对值之和，也即：

$|X| + \sum_{i=1}^{n-1} |X - c_i|$

为什么呢？你可以这样理解，每一组给糖果的关系就是前缀和的差，然后你搞出一个点叫做 $X$ 实现这个过程。

然后你看一眼这个式子，你发现 $X_1 - c_i$ 是 数轴上表示 $X_1$ 的点到表示 $c_i$ 的点的距离（来自小学数学老师），然后问题就退化为：

找一个 $X$ 使得它与 每一个 $c_i$ 的距离之和最小。

这小学贪心题啊，取中位数就行了。

时间复杂度： $O(n \log n)$.（主要是 取中位数要排序，如果用数据结构可能会优化到线性）

实际得分： $100pts$.

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e6+1;

inline ll read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

ll a[N],x[N],ans=0;
ll n,sum=0; //sum 是平均数

int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) sum+=(a[i]=read());
	sum/=n; for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=x[i-1]+sum-a[i]; //前缀和差值
	sort(x+1,x+1+n); int mid=x[(n+1)>>1]; //排序中位数
	for(int i=1;i<=n;i++) ans+=abs(x[i]-mid); //统计差值答案
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}