数学建模——图与网络（3）——最短路问题

一、两个指定顶点之间的最短路径

1. 问题描述

• 给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间， 找一条最短铁路线。

2. 问题理解

1. 以各城镇为图G的顶点，两城镇间的直通铁路为图G相应两顶点间的边，得图G；
2. 对G的每一边e，赋以一个实数w(e) ——直通铁路的长度，称为e的权，得到赋权图G，G的子图的权是指子图的各边的权和。
3. 到此，问题转化为 求赋权图G 中指定的两个顶点u₀,v₀间的最小权的轨。这条轨叫做u₀,v₀间的最短路，它的权叫做u₀,v₀间的距离，亦记作 d(u₀,v₀)。

3. 相关算法：迪克斯特拉（Dijkstra）算法

4. 示例问题

某公司在六个城市c₁,c₂,…,c₆中有分公司，从c_i到c_j的直接航程票价记在下述矩阵的(i,j)位置上。（∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市c₁到其它城市间的票价最便宜的路线图。

1. 绘制带权网络图：

方法1：在线绘图

使用该工具所制作的赋权无向图如下所示：

方法2：使用Matlab绘图

1. 无权无向图

• 代码如下：

	%% Matlab作无向图
	%（1）无权重（每条边的权重默认为1）；
	% 函数graph(s,t)：可在 s 和 t 中的对应节点之间创建边，并生成一个图；
	% s 和 t 都必须具有相同的元素数；这些节点必须都是从1开始的正整数，或都是字符串元胞数组。
	% 注意：编号应从1开始连续编号，注意：连续编号！（可以尝试一下不连续编号哦~）
	s1 = [1,1,1,1,2,2,2,3,3,4,4,5];
	t1 = [2,4,5,6,3,4,6,4,5,5,6,6];
	G1 = graph(s1, t1);
	plot(G1);
	% plot(G1,'linewidth',2); %设置线的宽度
	% set(gca,'XTick',[],'Ttick',[]); %绘图后不显示坐标

• 生成的无权无向图如下：
  

2. 赋权无向图

• 代码如下：

	%（2）有权重
	% 函数graph(s,t,w)：可在 s 和 t 中的对应节点之间以w的权重创建边，并生成一个图
	s2 = [1,1,1,1,2,2,2,3,3,4,4,5];
	t2 = [2,4,5,6,3,4,6,4,5,5,6,6];
	w = [50,40,25,10,15,20,25,10,20,10,25,55];
	G2 = graph(s2, t2, w);
	plot(G2, 'EdgeLabel', G2.Edges.Weight, 'linewidth', 2);

• 生成的赋权无向图如下：
  

1. 绘制带权网络图

求第一个城市到其它城市的最短路径的Matlab代码如下：