第三章习题中的一些结论

1.设 $X,Y$都是非负的连续型随机变量,它们相互独立,则有
$P\{X<Y\}=\int_{0}^{\infty}F_{X}(x)f_{Y}(x)dx$
其中 $F_{X}(x)$是 $X$的分布函数, $f_{Y}(y)$是 $Y$的概率密度.
2.设 $X,Y$是相互独立的随机变量,它们都服从正态分布 $N(0,\sigma^2).$随机变量 $Z=\sqrt{x^2+y^2}$的概率密度为
$f_{Z}(z)=\left\{\begin{aligned} &\frac{z}{\sigma^2}e^{-\frac{z^2}{2\sigma^2}},z \ge 0,\\ &0,其他\\ \end{aligned}\right.$
称 $Z$服从参数为 $\sigma(\sigma>0)$的瑞利分布.
3.设随机变量 $X,Y$相互独立,且服从同一分布,则有
$P\{a<min\{X,Y\} \leq b\}=[P\{X>a\}]^2-[P\{X>b\}]^2(a \leq b).$
4.设 $X,Y$是相互独立的随机变量,其分布律分别为
$P\{X=k\}=p(k),k=0,1,2,\dots,\\ P\{Y=r\}=q(r),r=0,1,2,\dots.$
则有 $Z=X+Y$的分布律为
$P\{Z=i\}=\sum_{k=0}^{i}p(k)q(i-k),i=0,1,2,\dots.$
5.设 $X,Y$是相互独立的随机变量, $X\sim \pi(\lambda_1),Y\sim \pi(\lambda_2),$则有
$Z=X+Y\sim \pi(\lambda_1+\lambda_2)$
6.设 $X,Y$是相互独立的随机变量, $X\sim b(n_1,p),Y\sim b(n_2,p),$则有
$Z=X+Y\sim b(n_1+n_2,p)$