双线性群简介

1.质数阶双线性群（Prime-Order Bilinear Groups）

质数双线性群可以由五元组 $(p,G1,G2,GT,e)$ 来描述。五元组中 $p$ 是一个与给定安全常数 $λ$ 相关的大质数， $G1,G2,GT$ 均是阶为 $p$ 的乘法循环群， $e$ 为双线性映射 $e:G1×G2→GT$ ，它满足以下3个条件：

双线性（Bilinearity）：对于任意的 $g∈G1，h∈G2，a,b∈Zp$ ，有 $e(g^a,h^b)=e(g,h)^{ab}$ ；
非退化性（Non-degeneracy）：至少存在元素 $g_1∈G1,g_2∈G2$ ，满足 $e(g_1,g_2)≠1$ ；
可计算性（Efficiency）：对于任意的 $u∈G1,v∈G2$ ，存在一个与给定安全常数 $λ$ 相关的多项式时间算法，可以高效地计算 $e(u,v)$ 。

现在的密码学相关论文中，习惯将 $G1,G2$ 设置为乘法循环群。但是，基于椭圆曲线的双线性群构造中， $G1,G2$ 是加法群。所以在大约2005年以前的论文中，双线性群一般写成加法群形式。JPBC中将 $G1,G2$ 表示称为了乘法循环群，因此在实现写成加法群形式的方案时，要注意将加法群改成乘法群的写法再进行实现。如何修改呢？很简单，把加法群中的加法运算写成乘法运算、把加法群中的乘法运算写成幂指数运算即可。

2.合数阶双线性群（Composite-Order Bilinear Groups）

合数阶双线性群和质数阶双线性群很类似，区别是 $G1,G2,GT$ 的阶数是一个合数 $N$ ，其中 $N$ 是一些大质数的乘积，如 $N=p_1p_2⋯p_n$ 。同样，e为双线性映射 $e:G1×G2→GT$ ，它满足双线性性、非退化性以及可计算性。

与质数阶双线性群不同，合数阶双线性群中， $GN$ 有阶数分别为 $p_1,p_2,⋯,p_n$ 的子群 $Gp_1,⋯,Gp_n$ 。这些子群进一步满足正交特性。

对于所有的 $h_i∈Gp_i$ 和 $h_j∈Gp_j$ ，如果 $i≠j$ ，那么 $e(h_i,h_j)=1$

简单地说就是，子群之间进行双线性运算的结果必为1。

2.1.一些说明

首先，由于双线性群现在的构造是基于椭圆曲线的，而椭圆曲线上的元素是由坐标 $(x,y)$ 表示的，所以如果我们将 $G1,G2$ 的结果输出到Java的控制台，我们得到的是一个坐标。不过， $GT$ 是一个普通的 $Z_n$ 群，所以其元素的表示是一个数。

其次，在密码学中，如果 $G1=G2$ ，我们称这个双线性群是对称双线性群（Symmetric Bilinear Group），否则称之为非对称双线性群（Asymmetric Bilinear Group）。

是否为对称双线性群由选取的椭圆曲线种类决定。一般认为，非对称双线性群要比对称双线性群更安全。特别地，现在已经证明一些特定的对称双线性群是不安全的了。

现在JPBC可以使用的曲线为如下几类：

Type A
Type A1
Type D
Type E
Type F
Type G

现在密码学实现基本只使用Type A和Type A1的。前者为对称质数阶双线性群，后者为合数阶对称双线性群。本博客也只在这两类曲线上实验。其他类曲线的实现类似。由于是对称双线性群，本博客中 $G1,G2$ 统一写为 $G$ 。

3.双线性群初始化

在JPBC中，双线性群的使用都是通过叫做Pairing的对象来实现的。双线性群的初始化在JPBC中就是对Pairing对象的初始化。双线性群有两种初始化的方法。第一种是通过代码动态产生一个双线性群，第二种是从文件中读取参数而产生群。

3.1.通过代码动态产生

动态产生的方法非常简单，大概有如下步骤：指定椭圆曲线的种类、产生椭圆曲线参数、初始化Pairing。Type A曲线需要两个参数：rBit是Zp中阶数p的比特长度；qBit是G中阶数的比特长度。代码为：

//rBit是Zp中阶数p的比特长度，如160；qBit是G中阶数的比特长度，如512。
TypeACurveGenerator pg = new TypeACurveGenerator(rBit, qBit);
PairingParameters typeAParams = pg.generate();
Pairing pairing = PairingFactory.getPairing(typeAParams);

Type A1曲线需要二个参数：numPrime是阶数N中有几个质数因子；qBit是每个质数因子的比特长度。注意，Type A1涉及到的阶数很大，其参数产生的时间也比较长。代码为：

TypeA1CurveGenerator pg = new TypeA1CurveGenerator(numPrime, qBit);
PairingParameters typeA1Params = pg.generate();
Pairing pairing = PairingFactory.getPairing(typeA1Params);

3.2.通过文件读取产生

我们也可以选择事先产生好参数，存放在文件中。以后再初始化的时候，直接从文件中读取参数，就可以非常快速的初始化双线性群。

PairingParameters支持toString()函数。实际上，我们可以直接将PairingParametersd的toString()存放在文件中。读取的时候，通过读取文件就可以直接初始化双线性群了。

Type A曲线从文件中读取参数初始化的代码为：

TypeACurveGenerator pg = new TypeACurveGenerator(rBit, qBit);
PairingParameters typeAParams = pg.generate();
//将参数写入文件a.properties中，我用了Princeton大学封装的文件输出库
Out out = new Out("a.properties");
out.println(typeAParams);
//从文件a.properties中读取参数初始化双线性群
Pairing pairing = PairingFactory.getPairing("a.properties");

Type A1曲线从文件中读取参数初始化的代码为：

TypeA1CurveGenerator pg = new TypeA1CurveGenerator(numPrimes, qBit);
PairingParameters typeA1Params = pg.generate();
//将参数写入文件a1.properties中，同样使用了Princeton大学封装的文件输出库
Out out = new Out("a1.properties");
out.println(typeA1Params);
//从文件a1.properties中读取参数初始化双线性群
Pairing pairing = PairingFactory.getPairing("a1.properties");

4.产生双线性群中的随机数

Type A中产生随机数的方法很简单，代码为：

//随机产生一个Z_p群的元素
Element Z_p = pairing.getZr().newRandomElement().getImmutable();
//随机产生一个G_1群的元素
Element G_1 = pairing.getG1().newRandomElement().getImmutable();
//随机产生一个G_2群的元素
Element G_2 = pairing.getG2().newRandomElement().getImmutable();
//随机产生一个G_T群的元素
Element G_T = pairing.getGT().newRandomElement().getImmutable();

Type A1中产生随机数的方法稍微有点麻烦。对于ZN和GT方法和Type A一样。代码为：

//随机产生一个Z_N群的元素
Element Z_N = pairing.getZr().newRandomElement().getImmutable();
//随机产生一个G_T群的元素
Element G_T = pairing.getGT().newRandomElement().getImmutable();

但是对于G就不同了。因为G有子群Gpi，Type A1产生随机数时需要指定生成元，椭圆曲线的参数，产生哪个子群的元素，以及Type A1一共有多少个子群。

假定我们产生的Type A1共有n个子群，这n个子群的阶分别为p1,⋯,pn，产生随机数的代码如下：

TypeA1CurveGenerator pg = new TypeA1CurveGenerator(numPrimes, qBit);
PairingParameters typeA1Params = pg.generate();
Pairing pairing = PairingFactory.getPairing(typeA1Params);

//设定并存储一个生成元。由于椭圆曲线是加法群，所以G群中任意一个元素都可以作为生成元
Element generator = pairing.getG1().newRandomElement().getImmutable();
//随机产生一个G_p_1中的元素
Element G_p_1 = ElementUtils.getGenerator(pairing, generator, typeA1Params, 0, numPrimes).getImmutable();
//随机产生一个G_p_2中的元素
Element G_p_2 = ElementUtils.getGenerator(pairing, generator, typeA1Params, 1, numPrimes).getImmutable();
// ...... 
//随机产生一个G_p_n中的元素
Element G_p_n = ElementUtils.getGenerator(pairing, generator, typeA1Params, 1, numPrimes).getImmutable();

5.将指定的元素哈希到双线性群中

由于双线性群最初是用在基于身份的加密（Identity-Based Encryption）系统中，我们经常会需要将一个特定的String或者byte[]哈希到双线性群中。

JPBC支持将byte[]哈希到双线性群的Z,G,GT中。但是，JPBC说明文档中没有提到的是，byte[]数组长度不能太长，如果过长会抛出异常。因此，我建议首先将byte[]用一个SHA256或者其他通用哈希函数哈希到固定长度，再用JPBC提供的函数哈希到双线性群上。在这里我略去SHA256步骤，直接给出哈希到Z,G,GT群的代码：

//将byte[] byteArray_Z_p哈希到Z_p群
Element hash_Z_p = pairing.getZr().newElement().setFromHash(byteArray_Z_p, 0, byteArray_Z_p.length);
//将byte[] byteArray_G_1哈希到G_1群
Element hash_G_1 = pairing.getG1().newElement().setFromHash(byteArray_G_1, 0, byteArray_G_1.length);
//将byte[] byteArray_G_2哈希到G_2群
Element hash_G_2 = pairing.getG2().newElement().setFromHash(byteArray_G_2, 0, byteArray_G_2.length);
//将byte[] byteArray_G_T哈希到G_T群
Element hash_G_T = pairing.getGT().newElement().setFromHash(byteArray_G_T, 0, byteArray_G_T.length);

注意，对于Type A1来说，这个代码无法指定哈希到指定子群Gpi中。解决方法是将byte[]先哈希到Z群，然后利用G,GT的生成元计算幂指数，从而达到哈希到G,GT上的效果。

6.双线性群的运算

双线性群之间有如下运算：

G相关运算：GZ, G×G；
GT相关运算：GZT, GT×GT；
Z相关运算：Z+Z, Z×Z；
Pairing运算

做运算的时候要注意一下几点：

Java的运算结果都是产生一个新的Element来存储，所以我们需要把运算结果赋值给一个新的Element；
Java在进行相关运算时，参与运算的Element值可能会改变。所以，如果需要在运算过程中保留参与运算的Element值，在存储的时候一定要调用getImmutable()，具体方法见代码中的初始化相关参数部分。
其实为了保险起见，防止Element在运算的过程中修改了Element原本的数值，可以使用Element.duplicate()方法。这个方法将返回一个与Element数值完全一样的Element，但是是个新的Element对象。举例来说，如果做G1×G1的运算，可以写成：

Element G_1_m_G_1 = G_1.duplicate().mul(G_1_p.duplicate());

G和G其实也是可以进行幂指数运算的，即GG，调用的函数为Element e1.pow(Element e2)。特别注意，我们再写G群的Z次方运算时，用的函数为powZn()，而不是pow()，这个调用错误很容易使得程序的运算结果不正确。
代码如下：

//初始化相关参数
Element G_1 = pairing.getG1().newRandomElement().getImmutable();
Element G_2 = pairing.getG2().newRandomElement().getImmutable();
Element Z = pairing.getZr().newRandomElement().getImmutable();
Element G_T = pairing.getGT().newRandomElement().getImmutable();

Element G_1_p = pairing.getG1().newRandomElement().getImmutable();
Element G_2_p = pairing.getG2().newRandomElement().getImmutable();
Element Z_p = pairing.getZr().newRandomElement().getImmutable();
Element G_T_p = pairing.getGT().newRandomElement().getImmutable();

//G_1的相关运算
//G_1 multiply G_1
Element G_1_m_G_1 = G_1.mul(G_1_p);
//G_1 power Z
Element G_1_e_Z = G_1.powZn(Z);

//G_2的相关运算
//G_2 multiply G_2
Element G_2_m_G_2 = G_2.mul(G_2_p);
//G_2 power Z
Element G_2_e_Z = G_2.powZn(Z);

//G_T的相关运算
//G_T multiply G_T
Element G_T_m_G_T = G_T.mul(G_T_p);
//G_T power Z
Element G_T_e_Z = G_T.powZn(Z);

//Z的相关运算
//Z add Z
Element Z_a_Z = Z.add(Z_p);
//Z multiply Z
Element Z_m_Z = Z.mul(Z_p);

//Pairing运算
Element G_p_G = pairing.pairing(G_1, G_2);

参考

[1] https://blog.csdn.net/liuweiran900217/article/details/45080653

Joohong

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