【LeetCode】300. 最长上升子序列
给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。
示例:
输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。
说明:
可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。
进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?
方法一：动态规划
思路与算法
定义 dp[i] 为考虑前 i 个元素，以第 i 个数字结尾的最长上升子序列的长度，注意 nums[i] 必须被选取。
我们从小到大计算 dp[] 数组的值，在计算 dp[i] 之前，我们已经计算出 dp[0…i−1] 的值，则状态转移方程为：
即考虑往 dp[0…i−1] 中最长的上升子序列后面再加一个 nums[i]。由于 dp[j] 代表 nums[0…j] 中以 nums[j] 结尾的最长上升子序列，所以如果能从 dp[j] 这个状态转移过来，那么 nums[i] 必然要大于nums[j]，才能将 nums[i] 放在 nums[j] 后面以形成更长的上升子序列。
最后，整个数组的最长上升子序列，即所有 dp[i] 中的最大值。
import java.util.Arrays;
public class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
int len = nums.length;
if (len < 2) {
return len;
}
int[] dp = new int[len];
Arrays.fill(dp, 1);
for (int i = 1; i < len; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] < nums[i]) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
}
int res = 0;
for (int i = 0; i < len; i++) {
res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;
}
}
复杂度分析
-
时间复杂度：O(n^2)，其中 n 为数组 nums 的长度。动态规划的状态数为 n，计算状态 dp[i] 时，需要 O(n) 的时间遍历 dp[0…i−1] 的所有状态，所以总时间复杂度为 O(n^2)。
-
空间复杂度：O(n)，需要额外使用长度为 n 的 dp 数组。
方法二：贪心 + 二分查找
思路与算法
考虑一个简单的贪心，如果我们要使上升子序列尽可能的长，则我们需要让序列上升得尽可能慢，因此我们希望每次在上升子序列最后加上的那个数尽可能的小。
基于上面的贪心思路，我们维护一个数组 d[i]，表示长度为 i 的最长上升子序列的末尾元素的最小值，用 len 记录目前最长上升子序列的长度，起始时： len 为 1，d[1] = nums[0]。
同时，我们可以注意到 d[i] 是关于 i 单调递增的。因为如果 d[j] ≥ d[i] 且 j < i，我们考虑从长度为 i 的最长上升子序列的末尾删除 i−j 个元素，那么这个序列长度变为 j ，且第 j 个元素 x（末尾元素）必然小于 d[i]，也就小于 d[j]。那么我们就找到了一个长度为 j 的最长上升子序列，并且末尾元素比 d[j] 小，从而产生了矛盾。因此数组 d[] 的单调性得证。
我们依次遍历数组 nums[] 中的每个元素，并更新数组 d[] 和 len 的值。如果 nums[i] > d[len] ，则更新 len = len + 1，否则在 d[1…len] 中找满足 d[i−1]<nums[j]<d[i] 的下标 i，并更新 d[i]=nums[j]。
根据 d 数组的单调性，我们可以使用二分查找寻找下标 i，优化时间复杂度。
最后整个算法流程为：
设当前已求出的最长上升子序列的长度为 len（初始时为 1），从前往后遍历数组 nums，在遍历到nums[i] 时：
- 如果nums[i]>d[len] ，则直接加入到 d 数组末尾，并更新 len=len+1；
否则，在 d 数组中二分查找，找到第一个比 nums[i] 小的数 d[k] ，并更新 d[k+1]=nums[i]。
以输入序列 [0, 8, 4, 12, 2] 为例：
第一步插入 0，d = [0]；
第二步插入 8，d = [0, 8]；
第三步插入 4，d = [0, 4]；
第四步插入 12，d = [0, 4, 12]；
第五步插入 2，d = [0, 2, 12]。
最终得到最大递增子序列长度为 3。
public class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
int len = nums.length;
if (len <= 1) {
return len;
}
// tail 数组的定义：长度为 i + 1 的上升子序列的末尾最小是几
int[] tail = new int[len];
// 遍历第 1 个数，直接放在有序数组 tail 的开头
tail[0] = nums[0];
// end 表示有序数组 tail 的最后一个已经赋值元素的索引
int end = 0;
for (int i = 1; i < len; i++) {
// 【逻辑 1】比 tail 数组实际有效的末尾的那个元素还大
if (nums[i] > tail[end]) {
// 直接添加在那个元素的后面，所以 end 先加 1
end++;
tail[end] = nums[i];
} else {
// 使用二分查找法，在有序数组 tail 中
// 找到第 1 个大于等于 nums[i] 的元素，尝试让那个元素更小
int left = 0;
int right = end;
while (left < right) {
// 选左中位数不是偶然，而是有原因的，原因请见 LeetCode 第 35 题题解
// int mid = left + (right - left) / 2;
int mid = left + ((right - left) >>> 1);
if (tail[mid] < nums[i]) {
// 中位数肯定不是要找的数，把它写在分支的前面
left = mid + 1;
} else {
right = mid;
}
}
// 走到这里是因为 【逻辑 1】 的反面，因此一定能找到第 1 个大于等于 nums[i] 的元素
// 因此，无需再单独判断
tail[left] = nums[i];
}
// 调试方法
// printArray(nums[i], tail);
}
// 此时 end 是有序数组 tail 最后一个元素的索引
// 题目要求返回的是长度，因此 +1 后返回
end++;
return end;
}
// 调试方法，以观察是否运行正确
private void printArray(int num, int[] tail) {
System.out.print("当前数字：" + num);
System.out.print("\t当前 tail 数组：");
int len = tail.length;
for (int i = 0; i < len; i++) {
if (tail[i] == 0) {
break;
}
System.out.print(tail[i] + ", ");
}
System.out.println();
}
public static void main(String[] args) {
int[] nums = new int[]{3, 5, 6, 2, 5, 4, 19, 5, 6, 7, 12};
Solution solution = new Solution8();
int lengthOfLIS = solution8.lengthOfLIS(nums);
System.out.println("最长上升子序列的长度：" + lengthOfLIS);
}
}
