[BZOJ5287][HNOI2018]毒瘤-虚树-动态规划

毒瘤

Description

从前有一名毒瘤。

毒瘤最近发现了量产毒瘤题的奥秘。考虑如下类型的数据结构题：给出一个数组，要求支持若干种奇奇怪怪的修改操作（比如区间加一个数，或者区间开平方），并支持询问区间和。毒瘤考虑了$n$ 个这样的修改操作，并编号为$1$ ~$n$。当毒瘤要出数据结构题的时候，他就将这些修改操作中选若干个出来，然后出成一道题。

当然了，这样出的题有可能不可做。通过精妙的数学推理，毒瘤揭露了这些修改操作的关系：有$m$ 对“互相排斥”的修改操作，第$i$ 对是第$u_i$个操作和第$v_i$个操作。当一道题同时含有$u_i$和$v_i$这两个操作时，这道题就会变得不可做。另一方面，一道题中不包含任何“互相排斥”的修改操作时，这个题就是可做的。此外，毒瘤还发现了一个规律：$m-n$ 是一个很小的数字，且任意两个修改操作都是连通的。两个修改操作$a,b$ 是连通的，当且仅当存在若干操作$t_0,t_1,\cdots,t_l$，使得$t_0=a,t_l=b$，且对$1≤i≤l$ ，$t_{i-1}$和$t_i$都是“互相排斥”的修改操作。

一堆“互相排斥”的修改操作称为互斥对。现在毒瘤想知道，给定值$n$ 和$m$ 个互斥对，他共能出出多少道可做的不同的数据结构题。两道数据结构题是不同的，当且仅当有一个修改操作在其中一道题中存在，而在另一道题中不存在。

Input

第一行为正整数$n,m$ 。
接下来$m$ 行，每行两个正整数$u,v$ ，代表一对“互相排斥”的修改操作。

Output

输出一行一个整数，代表毒瘤可以出的可做的不同的“互相排斥”的修改操作的个数。这个数可能很大，所以只输出模998244353后的值。

Sample Input

12 18
12 6
3 11
8 6
2 9
10 4
1 8
6 2
11 5
10 6
12 2
9 3
7 6
2 7
3 2
7 3
5 6
2 11
12 1

Sample Output

248

HINT

$n≤10^5,n−1≤m≤n+10$。

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考场上想到了一个可以A的做法却没调出来……
下考后花了2h重写结果调完编译错误后直接一遍过……
想想当时自己真是mdzz。

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思路:
在考场上，作为蒟蒻，当然是不会想到出题人的kernelization做法的。（关于此方法请出门左转知乎）
更不会想到考场上唯一一个A了此题的dalao（orz 机房dalao nyg）的k-仙人图做法（毕竟当时dalao讲的时候就没太听懂）。

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那就说说本蒟蒻当时想到却没调出来的做法。

首先，这是在一棵加了不超过$10$条非树边的树上求独立集方案数。

然后，$55$（然而实测是$60$）分做法就出来了:
$10$条非树边最多影响$20$个点，那么$O(2^{20})$枚举这$20$个点的选取状态，然后对于每个合法状态进行一次正常$dp$即可。复杂度$O(2^{20}n)$。

考虑优化这个做法。
可以发现，没有被枚举的点的状态很多情况下是相同的，重复计算貌似很浪费，考虑优化这些状态数。

于是考虑虚树。
建出这$20$个点的虚树，可以发现总点数是小于$40$的。

对于转移，观察暴力转移过程，可以得到如下的信息:
设$f[i][0/1]$代表节点$i$不选/选时，子树的总方案数。
那么若虚树上存在一条边$(u,v)$时，可以发现，$f[u][0]$和$f[u][1]$从$v$处获得的贡献可以表示成$k0*f[v][0]+k1*f[v][1]$的形式，其中$k0$和$k1$是两个系数。

由于每个转移的$k0$和$k1$不会根据选取方案改变，因此考虑对于每个节点$v$，预处理出它向虚树上父亲$u$转移时的$k0$和$k1$。
对于一条虚树边$(u,v)$，将原树中$u$到$v$的路径提出来，从$v$节点向上跳并暴力转移系数，若遇到分叉则额外转移上分叉处的系数。
由于虚树的性质可以知道分叉的子树内不存在关键点(否则分叉处会作为lca出现在虚树上)，因此分叉处的系数可以暴力转移。
这样的预处理是$O(n)$的。

最后依旧$O(2^{20})$爆枚选取状态即可。
设$k=m-n+1 \leq 10$，那么复杂度为$O(n + k\log k+2^{2*k+1}k)$。
注意由于暴力判断一个状态是否合法是$O(k)$的，后半部分复杂度不是$O(3^k)$而是$O(2^{2*k+1}k)$。

可以发现这个思路实际上跟出题人的kernelization的想法很相似……
或者说虚树这个方法本来就是kernelization方法的一个子集?

真™好写好调

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upd:
此方法实测没有正解和加了神奇的优化后的k-仙人图快(正解用时是另外两个方法的一半)……
但是k-仙人图不卡常基本上比下面这份代码慢，而且下面这份代码没有卡常……

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

inline int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || '9'<ch)ch=getchar();
    while('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
    return x;
}

inline int maxx(int a,int b){return a>b?a:b;}
inline int minn(int a,int b){return a<b?a:b;}

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pr;
#define v second
#define u first
const int md=998244353;
const int N=100009;
const int M=N+19;
const int K=23;

int eto[M<<1],enxt[M<<1],ew[M<<1],ebeg[N],etot;
int fa[N][K],id[N],ed[N],seg[N],dep[N],dfn;
int n,m,to[M<<1],nxt[M<<1],beg[N],tot;
int top,p[N<<1],ha[N],ptop,must[N],htop;
int tstk[N],f[N][2],rha[N],g[N][2],ttop;
bool ban[N];
pr stk[M<<1];

struct mov
{
    int k0,k1;

    mov(int _k0=0,int _k1=0){k0=_k0,k1=_k1;}

    inline mov operator + (mov o)
    {
        return mov(k0+o.k0,k1+o.k1);
    }

    inline mov operator * (int k)
    {
        return mov((ll)k0*k%md,(ll)k1*k%md);
    }

    inline int calc(int a,int b)
    {
        return ((ll)k0*a%md+(ll)k1*b%md)%md;
    }
}mo[N][2];

inline void adde(int u,int v)
{
    eto[++etot]=v;
    enxt[etot]=ebeg[u];
    ew[etot]=1;
    ebeg[u]=etot;
}

inline void add(int u,int v)
{
    to[++tot]=v;
    nxt[tot]=beg[u];
    beg[u]=tot;
}

inline void dfs(int u)
{
    seg[id[u]=++dfn]=u;
    for(int i=ebeg[u];i;i=enxt[i])
        if(eto[i]!=fa[u][0])
        {
            if(!dep[eto[i]])
            {
                dep[eto[i]]=dep[u]+1;
                fa[eto[i]][0]=u;
                dfs(eto[i]);
            }
            else
                ew[i]=0,stk[++top]=pr(minn(u,eto[i]),maxx(u,eto[i]));
        }
        else ew[i]=0;
    ed[u]=dfn;
}

inline bool cmp(int a,int b){return id[a]<id[b];}

inline int lca(int a,int b)
{
    if(dep[a]>dep[b])swap(a,b);
    for(int i=K-1;~i;i--)
        if(dep[fa[b][i]]>=dep[a])
            b=fa[b][i];
    if(a==b)return a;
    for(int i=K-1;~i;i--)
        if(fa[a][i]!=fa[b][i])
            a=fa[a][i],b=fa[b][i];
    return fa[a][0];
}

inline void dfs_ban(int u,int banc)
{
    f[u][0]=f[u][1]=1;
    for(int i=ebeg[u];i;i=enxt[i])
        if(eto[i]!=fa[u][0] && eto[i]!=banc && !ban[eto[i]])
        {
            dfs_ban(eto[i],banc);
            f[u][0]=(ll)f[u][0]*((f[eto[i]][0]+f[eto[i]][1])%md)%md;
            f[u][1]=(ll)f[u][1]*f[eto[i]][0]%md;
        }
}

inline void get_mov(int s,int t)
{
    mo[s][0]=mov(1,0);
    mo[s][1]=mov(0,1);
    mov tmp;
    for(int i=s;fa[i][0]!=t;i=fa[i][0])
    {
        dfs_ban(fa[i][0],i);
        ban[fa[i][0]]=1;tmp=mo[s][0];
        mo[s][0]=(mo[s][0]+mo[s][1])*f[fa[i][0]][0];
        mo[s][1]=tmp*f[fa[i][0]][1];
    }
}

inline void dfs_pre(int u)
{
    for(int i=beg[u];i;i=nxt[i])
    {
        dfs_pre(to[i]);
        get_mov(to[i],u);
    }
    f[u][0]=f[u][1]=1;
    for(int i=ebeg[u];i;i=enxt[i])
        if(!ban[eto[i]] && eto[i]!=fa[u][0] && ew[i]>0)
        {
            dfs_ban(eto[i],0);
            f[u][0]=(ll)f[u][0]*((f[eto[i]][0]+f[eto[i]][1])%md)%md;
            f[u][1]=(ll)f[u][1]*f[eto[i]][0]%md;
        }
}

inline void dfs_work(int u)
{
    g[u][0]=f[u][0];g[u][1]=f[u][1];
    for(int i=beg[u];i;i=nxt[i])
    {
        dfs_work(to[i]);
        int k0=mo[to[i]][0].calc(g[to[i]][0],g[to[i]][1]);
        int k1=mo[to[i]][1].calc(g[to[i]][0],g[to[i]][1]);
        g[u][0]=(ll)g[u][0]*((k0+k1)%md)%md;
        g[u][1]=(ll)g[u][1]*k0%md;
    }
    if(~must[u])
        g[u][must[u]^1]=0;
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1,u,v;i<=m;i++)
    {
        u=read();v=read();
        adde(u,v);adde(v,u);
    }

    dfs(dep[1]=1);
    for(int i=1;i<K;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];

    sort(stk+1,stk+top+1);
    top=unique(stk+1,stk+top+1)-stk-1;
    for(int i=1;i<=top;i++)
    {
        if(!ban[stk[i].u])
        {
            ban[stk[i].u]=1;
            p[++ptop]=stk[i].u;
            rha[ha[++htop]=stk[i].u]=htop;
        }
        if(!ban[stk[i].v])
        {
            ban[stk[i].v]=1;
            p[++ptop]=stk[i].v;
            rha[ha[++htop]=stk[i].v]=htop;
        }
    }

    sort(p+1,p+ptop+1,cmp);
    for(int i=2,e=ptop;i<=e;i++)
        p[++ptop]=lca(p[i-1],p[i]);
    p[++ptop]=1;
    sort(p+1,p+ptop+1,cmp);
    ptop=unique(p+1,p+ptop+1)-p-1;

    tstk[++ttop]=p[1];
    for(int i=2;i<=ptop;i++)
        if(ttop)
        {
            while(ttop && ed[tstk[ttop]]<id[p[i]])
                ttop--;
            add(tstk[ttop],p[i]);
            tstk[++ttop]=p[i];
        }
    for(int i=1;i<=ptop;i++)
        ban[p[i]]=1;

    dfs_pre(1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        must[i]=-1; 
    int ans=0;
    for(int i=(1<<htop)-1;i>=0;i--)
    {
        for(int j=1;j<=top;j++)
            if((i>>(rha[stk[j].u]-1)&1) && (i>>(rha[stk[j].v]-1)&1))
                goto hell;
        for(int j=1;j<=htop;j++)
            must[ha[j]]=(i>>(j-1))&1;
        dfs_work(1);
        (ans+=(g[1][0]+g[1][1])%md)%=md;
        hell:;
    }

    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}