编译原理中的语法分析-自上而下分析的基本问题

1. 背景

今天学习了编译原理中的语法分析-自上而下分析的基本问题这一章节，我参考了国防工业出版社《编译原理》教材¹ 和中国大学MOOC-国防科技大学《编译原理》的PPT，整理了这一章的内容，希望能够理解这部分的知识。

2. 语法分析

2.1. 语法分析的前提

• 对语言的语法结构进行描述

1. 采用正规式和有限自动机描述和识别语言的单词符号

2. 用上下文无关文法来描述语法规则

2.2. 语法分析的任务

• 语法分析的任务

  • 分析一个文法的句子的结构

• 语法分析器的功能

  • 按照文法的产生式(语言的语法规则)，识别输入符号串是否为一个句子(合式程序)

2.3. 语法分析器在编译器中的地位

2.4. 语法分析的方法

2.4.1. 自下而上(Bottom-up)

• 定义：从输入串开始，逐步进行归约，直到文法的开始符号

• 归约：根据文法的产生式规则，把串中出现的产生式的右部替换成左部符号

• 特点：从树叶节点开始，构造语法树

• 方法：算符优先分析法、LR分析法

2.4.2. 自上而下(Top-down)

• 定义：从文法的开始符号出发，反复使用各种产生式，寻找"匹配"的推导

• 推导：根据文法的产生式规则，把串中出现的产生式的左部符号替换成右部

• 特点：从树的根开始，构造语法树

• 方法：递归下降分析法、预测分析程序

2.5. 自上而下分析方法的问题

2.5.1. 文法左递归问题

• 定义：一个文法是含有左递归的，如果存在非终结符P

$P \Rightarrow P \alpha$

含有左递归的文法使上述的自上而下分析过程陷入无限循环。

2.5.2. 回溯问题

• 定义：分析过程中，当一个非终结符用某一个候选匹配成功时，这种匹配可能是暂时的。出错时，不得不“回溯”。

3. 消除文法的左递归

3.1. 直接左递归的消除

• 假定P关于的全部产生式是

$P - P \alpha_1 | P \alpha_2 | \cdots | P \alpha_m | \beta_1 | \beta_2|\cdots|\beta_n$

(每个 $\alpha$都不等于 $\epsilon$，每个 $\beta$都不以 $P$开头)

• 左递归变右递归

$P \rightarrow \beta_1 P' | \beta_2 P' | \cdots | \beta_n P'$

$P' \rightarrow \alpha_1 P' | \alpha_2 P' |\cdots | \alpha_m P' | \epsilon$

3.2. 间接左递归的消除

• 间接左递归定义：给定文法 $G(S)$:

$S\rightarrow Qc|c$

$Q\rightarrow Rb|b$

$R\rightarrow Sa|a$

虽然不存在直接左递归，但 $S、Q、R$都是左递归的，例如有

$S \Rightarrow Qc \Rightarrow Rbc \Rightarrow Sabc$

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• 一个文法消除左递归的条件
  • 不含以ε为右部的产生式
  • 不含回路 $P \Rightarrow P$

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• 消除左递归的算法：

1. 把文法G的所有非终结符按任一种顺序排列 $P_1， P_2，\cdots，P_n；$
2. 按此顺序执行如下伪代码

FOR i:=1 TO n DO
BEGIN
    FOR j:=1 TO i-1 DO
        (1)
    (2)
END

(1) 把形如 $P_i \rightarrow P_j \gamma$的规则改写成 $Pi \rightarrow \delta_1 \gamma | \delta_2 \gamma | … | \delta_k \gamma ;$

( 其中 $P_j \rightarrow \delta_1 | \delta_2 | \cdots | \delta_k$是关于 $P_j$的所有规则 )

(2) 消除关于 $P_i$规则的直接左递归性

3. 化简由 2 所得的文法，去除从开始符号出发永远无法到达的非终结符的产生规则。

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• 举例：给定文法 $G(S)$如下

$S\rightarrow Qc|c$

$Q\rightarrow Rb|b$

$R\rightarrow Sa|a$

1. 将非终结符排序为 $R、Q、S$。对于 $R$，不存在直接左递归。
2. 把 $R$带入到 $Q$ 的有关候选后，我们把 $Q$ 的规则变为

$Q\rightarrow Sab|ab|b$

现在 $Q$ 同样不包含直接左递归，把它带入到 $S$ 的有关候选后， $S$ 变成

$S \rightarrow Sabc|abc|bc|c$

接着消除 $S$ 的直接左递归，最后得到的文法为

$S \rightarrow abcS'|bcS'|cS'$

$S' \rightarrow abcS' | \epsilon$

$Q\rightarrow Sab|ab|b$

$R\rightarrow Sa|a$

3. 显然，其中关于 $Q$ 和 $R$ 的规则已经多余了，我们可以对它们进行化简，最后得到的结果如下。

$S \rightarrow abcS'|bcS'|cS'$

$S' \rightarrow abcS' | \epsilon$

• 注意：由于对非终结符排序的不同，最后所得的文法在形式上可能不一样。但不难证明，它们都是等价的。

4. 消除回溯

• 条件：
  • 对文法的任何非终结符，当要它去匹配输入串时，能够根据它所面临的输入符号准确地指派它的一个候选去执行任务，并且此候选的工作结果应是确信无疑的。

即假设现在轮到非终结符 $A$ 去执行匹配任务， $A$ 共有 $n$ 个候选，即

$A \rightarrow \alpha_1| \alpha_2| \cdots | \alpha_n$

$A$ 面临一个输入符号 $x$时，如果输入串是一个合法的句子，那么 $A$ 能够指派某个唯一确定的候选 $\alpha_i$ 来匹配 $x$，若不能匹配 $x$，说明输入串不是合法的句子。

4.1. FIRST集合

• 定义：令 $G$ 是一个不含左递归的文法，对 $G$ 的所有非终结符的每个候选 $\alpha$ 定义它的终结首符集 $FIRST(\alpha)$为：

$FIRST(\alpha) = \{ a| \alpha \Rightarrow a, \cdots a \in V_T \}$

特别是，若 $a \Rightarrow \epsilon$, 则规定：

$\epsilon \in FIRST(\alpha)$

换句话说， $FIRST(\alpha)$是 $\alpha$ 的所以可能推导的开头终结符 或可能的 $\epsilon$ 。 如果非终结符 $A$ 的所有候选首符集两两不相交，即 $A$ 的任何两个不同候选 $\alpha_i$ 和 $\alpha_j$

$FIRST(\alpha_i) \bigcap FIRST(\alpha_j) = \varnothing$

那么，当要求 $A$ 匹配输入串时， $A$ 就能根据它所面临的第一个输入符号 $a$，准确地指派某一个候选前去执行任务。这个候选就是那个终结首符集含 $a$ 的 $\alpha$.

4.2. 提取公共左因子

假定关于A的规则是

$A \rightarrow \delta \beta_1 | \delta \beta_2 | …| \delta \beta_n | \gamma_1 | \gamma_2 | … | \gamma_m$

(其中，每个 $\gamma$ 不以 $\delta$开头)

那么，可以把这些规则改写成

$A \rightarrow \delta A' | \gamma_1 | \gamma_2 | \cdots | \gamma_m$

$A' \rightarrow \beta_1 | \beta_2 | \cdots | \beta_n$

经过反复提取左因子，就能够把每个非终结符(包括新引进者)的所有候选首符集变成为两两不相交。

如果空字 $\epsilon$ 属于某个非终结符的候选首符集，那么问题就比较复杂。引入Follow集合。

4.3. FOLLOW集合

假定 $S$是文法 $G$的开始符号，对于 $G$的任何非终结符 $A$，我们定义 $A$的FOLLOW集合

$FOLLOW(A) = \{a|S \Rightarrow ...Aa..., a \in V_T \}$

特别是，若

$S \Rightarrow \cdots A$

则规定

$\# \in FOLLOW(A)$

表示若 $A$在句子的末尾，则标示句子末尾的 $\#$ 在 $A$的 $Follow$ 集合中。

注：部分内容整理自国防工业出版社《编译原理》教材和中国大学MOOC-国防科技大学《编译原理》PPT

5. 参考文献

[1] 陈火旺. 编译原理 [M]. 北京 : 国防工业出版社, 2010.

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