P1352 没有上司的舞会 题解

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简要题意：

给定一棵树，有点权，求 最大点权的点集使得该点集的点两两不相邻。“相邻” 的定义为 两点属于同一条边的两个端点 。

显然，\(n \leq 6 \times 10^3\) 可以考虑 \(O(n^2)\) 的办法。但是显然可以有更优的做法。

用 \(f_i\) 表示 在以 \(i\) 为根的子树中（\(i\) 的子孙，不包括祖先） 选 \(i\) 的答案，\(g_i\) 则为不选 \(i\) 的答案。

显然，如果 \(i\) 选，那么它的所有儿子节点 \(\text{son}\) 只能不选。

如果 \(i\) 不选，\(\text{son}\) 可以不选也可以选。

这里不能本着多多益善的原则，因为点权可能有负数。（允许点集为空）

所以：

\[\begin{cases} f_i = a_i + \sum_{j \in son_i} g_j \\ g_i = \sum_{j \in son_i} \max(f_j , g_j) \\ \end{cases}\]

时间复杂度：\(O(n)\).

实际得分：\(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+1;

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int n,a[N],f[N],g[N],ans=0;
vector<int> G[N]; bool h[N];

inline void dfs(int dep) {
	f[dep]=a[dep];
	for(int i=0;i<G[dep].size();i++) dfs(G[dep][i]); //得到子孙的答案
	for(int i=0;i<G[dep].size();i++) {
		int v=G[dep][i];
		f[dep]+=g[v]; g[dep]+=max(f[v],g[v]); //转移
	}
}

inline int find_root() {
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!h[i]) return i;
} //寻找根节点

int main() {
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	for(int i=1;i<n;i++) {
		int u=read(),v=read();
		G[v].push_back(u); h[u]=1; 
	} int root;dfs(root=find_root()); 
	printf("%d\n",max(f[root],g[root]));
	return 0;
}