hdu4675 GCD of Sequence 组合数学+反演

分析

我们设 $f(d)$为 $\gcd=d$的数量， $F(d)$为 $\gcd$为 $d$或者 $d$的倍数的数量
我们有反演（假设n=3）： $f(d)=\sum_{d \mid t}\mu(\frac{t}{d})F(t)$
所以这道题难在 $F(t)$怎么求：
我们设 $num[d]$为 $a$数组中，是 $d$的倍数的数目，那剩下的 $n-num[d]$是需要改为 $d$的倍数。因为 $\gcd$为 $d$
我们要保证有正好 $k$个不同， $n-num[d]$是一定要修改的，那可能还有 $k-(n-num[d])$个需要修改
这些的贡献为 $C_{num[d]}^{k+num[d]-n}$
那可以修改的数量应该为 $\frac{m}{d}-1\quad$(除去本身这个倍数)
所以这部分的总贡献： $C_{num[d]}^{k+num[d]-n}(\frac{m}{d}-1)^{k+num[d]-n}$
还有哪些必须修改的贡献，所以最终：
$F(d)=C_{num[d]}^{k+num[d]-n}(\frac{m}{d}-1)^{k+num[d]-n}(\frac{m}{d})^{n-num[d]}$

最后我们枚举 $d$，在枚举 $d$的倍数即可 $O(nlogn)$求解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T>
void out(T x) { cout << x << endl; }
ll fast_pow(ll a, ll b, ll p) {ll c = 1; while(b) { if(b & 1) c = c * a % p; a = a * a % p; b >>= 1;} return c;}
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { if(!b) {x = 1; y = 0; return a; } ll gcd = exgcd(b, a % b, y, x); y-= a / b * x; return gcd; }
const int N = 3e5 + 6;
const int mod = 1e9 + 7;
int prime[N], mu[N], tot;
ll F[N], num[N], fac[N], inv[N];
bool mark[N];
void init()
{
    fac[0] = inv[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i ++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    inv[N - 1] = fast_pow(fac[N - 1], mod - 2, mod);
    for(int i = N - 2; i >= 1; i --)
        inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
void get_mu()
{
    mark[1] = mark[0] = true;
    mu[1] = 1;
    tot = 0;
    for(int i = 2; i < N; i ++)
    {
        if(!mark[i])
        {
            prime[tot ++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 0; j < tot && i * prime[j] < N; j ++)
        {
            mark[i * prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0)
                break;
            mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }

}
ll C(int n, int m)
{
    return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n, m, k;
    get_mu();
    init();
    while(cin >> n >> m >> k)
    {
        memset(num, 0, sizeof(num));
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
        {
            int x;
            cin >> x;
            for(int j = 1; j * j <= x; j ++)
            { 
                if(x % j == 0)
                {
                    num[j] ++;
                    if(j * j != x)
                        num[x / j] ++;
                }
            }
        }
        for(int i = 1; i <= m; i ++)
        {
            if(k + num[i] - n < 0)
                F[i] = 0;
            else
                F[i] = C(num[i], k - (n - num[i])) * fast_pow(m / i - 1, k + num[i] - n, mod) % mod * fast_pow(m / i, n - num[i], mod) % mod;
        }
        for(int i = 1; i <= m; i ++)
        {
            ll ans = 0;
            for(int j = i; j <= m; j += i)
            {
                ans = (ans + 1ll * mu[j / i] * F[j] % mod + mod) % mod;
            }
            cout << ans << (i != m ? " " : "\n");
        }
    }
    //system("pause");
}