假如我数学不好会玩一点点MatLab

一、前言

1.1 下载相关

MatLab 可以微信关注『软件安装管家』进行获取。

1.2 字体相关

MatLab 内置的字体方案不是特别友好，要么就是代码字体太难看，要么就是中文字体无法显示。相对比较好的一种字体是 Consolas-with-Yahei。

注意事项：

1. 右键字体为所有用户安装，否则 MatLab 会找不到新安装的字体。
2. 安装后需要重启 MatLab 才能在『预设 / MATLAB / 字体』中找到。
3. 只有一少部分的 Powerline 字体能进行较好的适配。

Consolas-with-Yahei 字体下载地址：

• GitHub：https://github.com/sharpglasses/Consolas-with-Yahei
• Gitee：https://gitee.com/hankfirst/Consolas-with-Yahei

Powerline 字体下载地址：

• GitHub：https://github.com/powerline/powerline
• Gitee：https://gitee.com/mirrors/Powerline

1.3 Latex 相关

• 『LaTeX 各种命令，符号』https://blog.csdn.net/garfielder007/article/details/51646604
• 『希腊字母表』https://blog.csdn.net/u012494876/article/details/76560300

1.4 命令相关

• 分号：;作用与矩阵中表示向量行分隔符，作用与命令后表示取消运行结果显示

• 清空工作区：clear

• 清屏：clc

二、矩阵

2.1 输入向量 / 矩阵

向量是 MatLab 中非常重要的一个概念，许多函数的参数都是向量类型的。

一维行向量：
$\vec x = \begin{pmatrix} 1, & 2, & 3 \end{pmatrix}$

x = [1, 2, 3]

一维列向量：
$\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

x = [1; 2; 3]

矩阵：
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

A = [
1 2 3;
4 5 6;
7 8 9]

2.2 生成特殊向量 / 矩阵

生成元素递增的向量：
$\vec x = \begin{pmatrix} 0,& 2,& 4,& 6,& 8,& 10 \end{pmatrix}$

x = 0 : 2 : 10

生成等分区间的向量：
$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \end{bmatrix}$

x = [
linspace(0, 5, 6);
linspace(0, 10, 6)]

生成单位矩阵：

A = eye(m, n)

生成零矩阵：

A = zeros(m, n)

生成转置矩阵：

$\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}^{T}$

A = [1 2 3; 4 5 6];
B = A'

2.3 矩阵运算

矩阵元素运算：

• 同型矩阵相加+
• 带.的运算符（如.*、.^、./等）表示矩阵各元素的运算。

求行列式：

det(A)

求秩：

rank(A)

求逆：

inv(A)

2.4 矩阵切片

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\4 & 8 & 12 & 16 & 20\end{bmatrix} \xrightarrow[2 \sim 4列]{2 \sim3 行} \begin{bmatrix}4 & 6 & 8 \\8 & 12 & 16\end{bmatrix}$

A = [
linspace(1, 5, 5);
linspace(2, 10, 5);
linspace(4, 20, 5)];

B = A(2:3, 2:4)

三、绘图

3.1 描点法

$f(x) = \sin(x)$

x = 0 : 0.01 : 2*pi;
y = sin(x);

plot(x, y);
grid on;

grid on表示开启网格。

3.2 符号函数

ezplot可以方便的绘制隐函数、参数方程等可以用『符号表达式』表示的函数。

隐函数：
$x^2 + y^2 - 9 = 0$

%  定义符号变量
syms x y;

ezplot(x.^2 + y.^2 - 9)
grid on;

参数方程：
$\begin{cases} x = 3\cos(t) \\ y = 4\sin(t) \end{cases}$

syms t;

ezplot(3*cos(t), 4*sin(t));
grid on;

3.3 分段函数

$f(x) = \begin{cases} x^2 & x<0 \\ x & x\ge0 \end{cases}$

x = -10 : 1 : 10;
y = x.^2.*(x<0) + x.*(x >= 0);

plot(x, y);
grid on;

3.4 窗口分割

syms x;
% 分割成 2*2 个图像并激活第 1 个
subplot(2, 2, 1);
ezplot(sin(x));
grid on;

% 分割成 2*2 个图像并激活第 2 个
subplot(2, 2, 2);
ezplot(cos(x));
grid on;

% 分割成 2*2 个图像并激活第 3 个
subplot(2, 2, 3);
ezplot(tan(x));
grid on;

四、导数和极值

4.1 求极限

$\lim_{x \to 0} {\frac{3\sin x + 4x^2}{x}}$

syms x;
limit((3*sin(x)+4*x^2) / x, 0)

4.2 求导

$\begin{cases} x = t^2 - \ln(2 + \sin t) \\ y = t^3 - 3\sin(\ln t) \end{cases}$

syms x t;

% 求 dy/dt
dy_dt = diff(t^3 - 3*sin(log(t)));

% 求 dx/dt
dx_dt = diff(t^2 - log(2+sin(t)));

% 求dy/dx
dy_dx = dy_dt / dx_dt

4.3 求极值

求 $f(x) = x^2- 3x + 1$ 在 $[-10,10]$内的极小值点 $x_0$ 和极小值 $ y_{min}$：

syms x;
[x_0, y_min] = fminbnd('x^2 - 3*x + 1', -10, 10)

该函数在调用时需要三个参数： $f(x)$的字符表达式、区间左端点和区间右端点。

五、微分

5.1 常微分方程求通解

$x^{''}(t) + 2^{'}(t) - 3x(t) = e^t$

syms t;
s= dsolve('Dx + 4*x = sin(2*t)', t)

5.2 常微分方程求特解

$\begin{cases} y^{''} + 3y^{'}(x) + 2y(x) = \sin(2x) \\ y(0) = 1 \\ y^{'}(0) = 1 \end{cases}$

syms x;
dsolve('D2y + 3*Dy + 2*y = sin(2*x)', 'y(0)=1', 'Dy(0)=1', x)

六、积分

6.1 基本积分表

地址：https://blog.csdn.net/baishuiniyaonulia/article/details/78695446

6.2 不定积分

$\int \frac{x+1}{\sqrt[3]{3x+1}} =\frac{3x+6}{15}(3x+1)^{\frac{2}{3}} + C$

syms x;
int((x+1) / (3*x+1)^(1/3), x)

6.3 定积分

$\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = 2$

syms x;
int(sin(x), [0, pi])

6.4 变限积分

$\int_{\cos{x}}^{\sin{x}} \cos{t}dt = -\sin(\cos{x}) + \sin(\sin{x})$

syms x t;
int(cos(t), [cos(x), sin(x)])

6.5 广义积分

$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} = \sqrt{\pi}$

syms x;
int(exp(-x^2), [-inf, inf])

七、线性方程组

7.1 求齐次线性方程组基础解系 / 通解

$\begin{cases} x_1 - x_2 - x_3 + 3x_5 = 0 \\ 2x_1 - 2x_2 - x_3 + 2x_4 + 4x_5 = 0 \\ 3x_1 - 3x_2 - x_3 + 4x_4 + 5x_5 = 0 \\ x_x - x_2 + x_3 + x_4 - x_5 = 0 \end{cases}$

% 系数矩阵
A = [
1 -1 -1 0 3;
2 -2 -1 2 4;
3 -3 -1 4 5;
1 -1 1 4 -1];

% 求秩
r = rank(A)

% B的列向量是 AX=0 的有理数形式的基础解系
B = null(A, 'r')

$\xi = c_1 \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + c2 \begin{pmatrix} -2\\ 0\\ -2\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 2\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

7.2 求非齐次线性方程组的解

$AX = b$的求解策略：

条件	解情况 / 结果	求解命令
$\begin{cases} m>n \\ r(A) = r([A \quad b]) = n \end{cases}$	唯一解	X = A \ b 或 X = inv(A) * b
$\begin{cases} m=n \\ r(A) = r([A \quad b]) = n\end{cases}$	唯一解	X = A \ b
$r(A) = r([A \quad b]) < n$	无穷多解 / 通解	X = A \ b（非齐次特解）和B = null(A, 'r')（齐次解系）
$r(A) \neq r([A \quad b])$	无解

八、概率统计

8.1 排列组合

$A_5^2 = \frac{5!}{3!} \\ C_{5}^{2} = \frac{5!}{3!\cdot2!}$

% 排列数
a = factorial(5) / factorial(3)

% 组合数
c = a / factorial(2)

8.2 离散型随机变量

8.2.1二项分布 $X \sim B(n, p)$

$P\{ X = K \} = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

8.2.2 泊松分布 $X \sim P(\lambda)$

$P\{X = k\} = \frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda} \quad (k = 0, 1, ..., \lambda|0)$

8.3 连续型随机变量

8.3.1 $X \in [a, b]$的概率：

$P\{ a\leq X \leq b \} = \int_a^b f(x)dx= F(b) - F(a)$

8.3.2 均匀分布 $X \sim U[a, b]$

$X \sim f(x) = \begin{cases}\frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\0 & 其它\end{cases}\\X \sim F(x) = \begin{cases}0 & x < a \\\frac{x-a}{b-a} & a \leq x < b \\1 & x \geq b\end{cases}$

8.3.3 指数分布 $X \sim e(\lambda)$

$X \sim f(x) = \begin{cases} \lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x} & x>0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases} \\ X \sim F(x) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda \cdot x} & x>0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}$

8.3.4 正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$

$X \sim f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2} {2\sigma^2}} \\ X \sim F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma} \cdot \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(x-\mu)^2} {2\sigma^2}} dt$

8.4 （分布律 / 密度函数） / 分布函数

分布类型	分布律 / 概率密度	分布函数
二项分布 $X \sim B(n, p)$	binopdf(x, n, p)	binocdf(x, n, p)
泊松分布 $X \sim P(\lambda)$	poisspdf(x，λ)	poisscdf(x，λ)
均匀分布 $X \sim U[a, b]$	unifpdf(x, a, b)	unifcdf(x, a, b)
指数分布 $X \sim e(\lambda)$	exppdf(x, λ)	expcdf(x, λ)
正太分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$	normpdf(x, μ, σ)	normcdf(x, μ, σ)

8.5 生成随机数

分布类型	随机数生成函数
二项分布 $X \sim B(n, p)$	binornd(n, p, [row, column])
泊松分布 $X \sim P(\lambda)$	poissrnd(λ, [row, column])
均匀分布 $X \sim U[a, b]$	unifrnd(a, b, [row, column])
指数分布 $X \sim e(\lambda)$	exp(λ, [row, column])
正太分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$	normarnd(μ，σ, [row, column])

8.6 期望和方差

分布类型	期望	方差
二项分布 $X \sim B(n, p)$	$E(X) = n \cdot p$	$D(X)=n \cdot p \cdot (1-p)$
泊松分布 $X \sim P(\lambda)$	$E(X) = \lambda$	$D(X) = \lambda$
均匀分布 $X \sim U[a, b]$	$E(X) = \frac{a+b}{2}$	$D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布 $X \sim e(\lambda)$	$E(X) = \frac{1}{\lambda}$	$D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$
正太分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$	$E(X) = \mu$	$D(X) = \sigma^2$