(三)回溯算法

一、基本概念

回溯算法实际上是一个枚举的搜索尝试过程，主要在搜索尝试过程中寻求问题的解，当发现满足求解条件时，则将路径存储，否则不做任何处理。

二、设计思想

回溯思想：穷举搜索

回溯设计：(1)域：设置一个数组arr用于存放可达路径，设置一个数组List<arr>用于存放所有可达路径

(2)问题转化：问题转化为求解可达路径下一步如何走的问题

(3)方法逻辑：给出可达路径的终止条件，满足条件时存储路径，否则将大问题分割成多个规模较小的相同问题，递归求解。

三、问题分析

下面以八皇后问题进行说明，原题表述如下：

在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

算法选型：

八皇后问题实质是对可达路径的穷举求解，因而应该选用回溯算法

题目分析：

由于皇后不能处于同一行，因此按行来规定皇后，第一行放第一个皇后，第二行放第二行皇后，直到所有行放完；在上述过程中涉及到两点，首先每行的一个皇后放置在什么位置，这是不确定的需要穷举，但必须满足与前面皇后不能同一列，也不能同一对角线

算法逻辑：

(1)域：array用于存放八皇后的正确摆放方式，storage用于存储所有的摆放方式

(2)问题转化：问题转化为求解第n个皇后放置在什么位置的问题，即：void placeQueue(int n);

(3)终止条件：当摆放第8个皇后时即为终止信号，说明当前路径符合要求即为存储

(4)子问题递归：第n个皇后有多种方法可以放在任意位置，因为需要for穷举，当第n个皇后放置后如果与前面放置的n-1个皇后满足上述限制条件，则继续放置n-1个皇后，与前述完全一致，递归即可

代码示意如下所示：

public class Example {

    private static ArrayList<ArrayList<Integer>> storage = Lists.newArrayList();

    /**
     * 总皇后数，此时设置为8皇后在8X8棋盘的摆放
     **/
    private static int max = 8;

    /**
     * 存放八皇后的摆放方式，第一个皇后摆在array[0]列，第二个摆在array[1]列，.....
     **/
    private static int[] array = new int[max];

    /**
     * @param n 当前是第几个皇后(从0开始计算)
     **/
    private static void placeQueue(int n) {
        // 一行摆放完毕
        if (n == max) {
            ArrayList<Integer> arrayList = Lists.newArrayList();
            for (int i = 0; i < max; i++) {
                arrayList.add(array[i]);
            }
            storage.add(arrayList);
            return;
        }
        //从第一列开始放值，然后判断是否和本行本列本斜线有冲突，如果OK，就进入下一行的逻辑
        for (int i = 0; i < max; i++) {
            array[n] = i;
            // 判断是否符合八皇后条件，符合则摆放下一个皇后，否则回退继续尝试摆放
            if (judgeLegal(n)) {
                placeQueue(n + 1);
            }
        }
    }

    /**
     * @param n 摆放的当前皇后的编号, array[n]为要当前摆放的皇后的位置，array[0~n-1]为前n-1已经摆放的皇后位置
     * @func 判断是否符合八皇后条件
     * 分析: 假设一个皇后所在位置为n列，位置为arr[n]，坐标为(n, arr[n]), 另一个皇后的坐标为(i, arr[i])，
     * 如果两个皇后在一条对角线上, 画图根据数学分析可知，则必有Math.abs(n-i) == Math.abs(arr[n], arr[i]);
     * 如果两个皇后在不同行的同一位置则必有arr[n] == arr[i]
     **/
    private static boolean judgeLegal(int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    public static void main(String[] args) {
        placeQueue(0);
        for (int i = 0; i < storage.size(); i++) {
            System.out.println(storage.get(i));
        }
    }
}

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