2020年了我怎么还是没有学会任意模数NTT……
发现自己多项式的技能没有点的还有很多。
处理任意模数NTT有一系列的方法，其中有个看起来比较优的算法需要FFT三次变二次优化。
众所周知，普通的FFT长这样：
假设是多项式\(A(x)\)和\(B(x)\)求卷积，首先求\(DFT(A)\)和\(DFT(B)\)，两者相乘后求\(IDFT\)
这样算了三次\(DFT\)。
接下来的算法可以将三次\(DFT\)优化成两次。
设\(P(x)=A(x)+iB(x)\)，\(Q(x)=A(x)-iB(x)\)
推一波式子（设\(L\)表示长度，\(\theta=\frac{2\pi jk}{L}\)）
\[DFT(P)_k=P(\omega^k)\\ =\sum_{j=0}^{L-1}(A_j+iB_j)\omega^{jk} \\ =\sum_{j=0}^{L-1}(A_j+iB_j)(\cos \theta + i\sin \theta) \\ =\sum_{j=0}^{L-1}(A_j\cos\theta-B_j\sin\theta)+i(A_j\sin\theta+B_j\cos\theta)\]
\[DFT(Q)_k=Q(\omega^k)\\ =\sum_{j=0}^{L-1}(A_j-iB_j)\omega^{jk} \\ =\sum_{j=0}^{L-1}(A_j-iB_j)(\cos \theta + i\sin \theta) \\ =\sum_{j=0}^{L-1}(A_j\cos\theta+B_j\sin\theta)+i(A_j\sin\theta-B_j\cos\theta) \\ =\sum_{j=0}^{L-1}(A_j\cos(-\theta)-B_j\sin(-\theta))-i(A_j\sin(-\theta)+B_j\cos(-\theta))\]
对比一下，可以发现\(DFT(Q)_k\)和\(DFT(P)_{L-k}\)（即\(DFT(P)_{-k}\)）共轭。
于是算出\(DFT(P)\)，就可以在\(O(n)\)时间内求出\(DFT(Q)\)。
显然\(A(x)=\frac{P(x)+Q(x)}{2}\)，\(B(x)=-i\frac{P(x)-Q(x)}{2}\)
于是就可以求出\(DFT(A)\)和\(DFT(B)\)，进而求出\(DFT(A*B)\)，然后\(IDFT\)回去。
这样就将\(DFT\)从调用三次优化到调用两次了。