Week12-必做题3（动态规划）

问题描述

东东每个学期都会去寝室接受扫楼的任务，并清点每个寝室的人数。
每个寝室里面有ai个人(1<=i<=n)。从第i到第j个宿舍一共有sum(i,j)=a[i]+…+a[j]个人
这让宿管阿姨非常开心，并且让东东扫楼m次，每一次数第i到第j个宿舍sum(i,j)
问题是要找到sum(i1, j1) + … + sum(im,jm)的最大值。且ix <= iy <=jx和ix <= jy <=jx的情况是不被允许的。也就是说m段都不能相交。
注：1 ≤ i ≤ n ≤ 1e6 , -32768 ≤ ai ≤ 32767 人数可以为负数。。。。(1<=n<=1000000)

Input

输入m，输入n。后面跟着输入n个ai

Output

输出最大和

Sample input

1 3 1 2 3
2 6 -1 4 -2 3 -2 3

Sample output

6
8

Hint

数据量很大，需要scanf读入和dp处理。

解题思路

对于这个题，我们考虑用二维数组dp[i][j]表示选了 $i$ 段，到第 $j$ 个为止，最大的结果，其中第 $j$ 个必选。对于第 $j$ 个数，我们有两种处理方法：

选择，与最后一段合并，dp[i][j]=dp[i][j-1]+a[j];
选择，成为新的一段，dp[i][j]=dp[i-1][k]+a[j]; (i-1<k<j)

然后三者取最大值即可，但是问题是这样会MLE，由于dp[i][j]都是从dp[i-1]或者dp[i]推过来的，我们将dp换成滚动数组就行了。

    while(scanf("%d %d",&m,&n)==2){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for (int i=1; i<=n; i++) {
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        int x=0; long long maxx=INT_MIN/2;
        for (int j=1; j<=n; j++){
            dp[x][j]=max(a[j],a[j]+dp[x][j-1]);
            maxx=max(maxx,dp[x][j]);
        }
        x=1-x;
        for (int i=2; i<=m; i++){
            for (int j=i; j<=n; j++){
                dp[x][j]=dp[x][j-1]+a[j];
                for (int k=i; k<j; k++){
                    dp[x][j]=max(dp[x][j],dp[1-x][k]+a[j]);
                }
                maxx=max(maxx,dp[x][j]);
            }
            x=1-x;
        }
        printf("%lld\n",maxx);
    }

思路是好的，现实是惨的，T掉了。。。（说不定，不T也WA）

我们发现可以，k的那个循环可以由上一次循环 $j$ 的时候算出来，改进后，发现数组第一维也可以去掉了。最终代码见完整代码。

完整代码

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma G++ optimize(2)
//#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn=1e6+10;
long long m,n,dp[maxn],a[maxn],last[maxn];
int getint(){
    int x=0,s=1; char ch=' ';
    while(ch<'0' || ch>'9'){ ch=getchar(); if(ch=='-') s=-1;}
    while(ch>='0' && ch<='9'){ x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*s;
}
int main(){
    //ios::sync_with_stdio(false);
    //cin.tie(0);
    while(scanf("%lld %lld",&m,&n)==2){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for (int i=1; i<=n; i++) {
            scanf("%lld",&a[i]);
        }
        long long maxx=INT_MIN;
        for (int j=1; j<=n; j++){
            dp[j]=max(a[j],a[j]+dp[j-1]);
            last[j-1]=maxx;
            maxx=max(maxx,dp[j]);
        }
        for (int i=2; i<=m; i++){
            maxx=INT_MIN;
            for (int j=i; j<=n; j++){
                dp[j]=max(dp[j-1]+a[j],last[j-1]+a[j]);
                last[j-1]=maxx;
                maxx=max(maxx,dp[j]);
            }
        }
        printf("%lld\n",maxx);
    }

    return 0;
}