描述
给定一个物品集合s={1,2,3,…,n},物品i的重量是wi,其价值是vi,背包的容量为W,即最大载重量不超过W。在限定的总重量W内,我们如何选择物品,才能使得物品的总价值最大。
分析
如果物品不能被分割,即物品i要么整个地选取,要么不选取;
不能将物品i装入背包多次,也不能只装入部分物品i,则该问题称为0—1背包问题。
如果物品可以拆分,则问题称为背包问题,适合使用贪心算法。
建立计算p(i,j)的递归式如下:
m[2][1]=max(m[3][1],m[3][0]+10)=10;
m[2][2]=max(m[3][2],m[3][1]+10)=15;
m[2][3]=max(m[3][3],m[3][2]+10)=25;
m[2][4]=max(m[3][4],m[3][3]+10)=30;
m[2][5]=max(m[3][5],m[3][4]+10)=35;
m[1][5]=max(m[2][5],m[2][3]+12)=37;
求最优解
代码
时间复杂度O(nW)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define NUM 50
#define CAP 1500
int v[NUM];
int w[NUM];
int p[NUM][CAP];
void knapsack(int c, int n)
{
int jMax=min(w[n]-1,c);
for( int j=0; j<=jMax; j++)
p[n][j]=0;
for( int j=w[n]; j<=c; j++)
p[n][j]=v[n];
for( int i=n-1; i>1; i--)
{
jMax=min(w[i]-1,c);
for( int j=0; j<=jMax; j++)
p[i][j]=p[i+1][j];
for(int j=w[i]; j<=c; j++)
p[i][j]=max(p[i+1][j], p[i+1][j-w[i]]+v[i]);
}
p[1][c]=p[2][c];
if (c>=w[1])
p[1][c]=max(p[1][c], p[2][c-w[1]]+v[1]);
}
void traceback( int c, int n, int x[ ])
{
for(int i=1; i<n; i++)
{
if (p[i][c]==p[i+1][c])
x[i]=0;
else
{
x[i]=1;
c-=w[i];
}
}
x[n]=(p[n][c])? 1:0;
}
int main ()
{
int x[NUM];
int W;
int n;
while (cin>>W && W)
{
cin>>n;
for (int i=1; i<=n; i++)
cin>>w[i]>>v[i];
memset (p, 0, sizeof(p));
knapsack(W, n);
cout<< p[1][W]<<endl;
traceback(W, n, x);
for (int i=1; i<=n; i++)
if (x[i])
cout<< i;
cout<<endl;
}
return 0;
}