AOV
AOV网：在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，称这样的有向图为顶点表示活动的网，简称AOV网。
AOV网特点
1.AOV网中的弧表示活动之间存在的某种制约关系。
2.AOV网中不能出现回路 。
拓扑序列：
设G=(V，E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列v1, v2, …, vn称为一个拓扑序列，当且仅当满足下列条件：若从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点的拓扑序列中顶点vi必在顶点vj之前。
拓扑排序：
对一个有向图构造拓扑序列的过程称为拓扑排序 。
拓扑序列使得AOV网中所有应存在的前驱和后继关系都能得到满足。
基本思想：
⑴ 从AOV网中选择一个没有前驱的顶点并且输出；
⑵ 从AOV网中删去该顶点，并且删去所有以该顶点为尾的弧；
⑶ 重复上述两步，直到全部顶点都被输出，或AOV网中不存在没有前驱的顶点。
设计数据结构
思想
（1）找G中无前驱的顶点
查找indegree ［i］为零的顶点vi；
（2）修改邻接于顶点i的顶点的入度（删除以i为起点的所有弧）
对链在顶点i后面的所有邻接顶点k，将对应的indegree［k］ 减1。
为了避免重复检测入度为零的顶点，可以再设置一个辅助栈，若某一顶点的入度减为0，则将它入栈。每当输出某一入度为0的顶点时，便将它从栈中删除。
算法
- 栈S初始化；累加器count初始化；
- 扫描顶点表，将没有前驱的顶点压栈；
- 当栈S非空时循环
3.1 vj=退出栈顶元素；输出vj；累加器加1；
3.2 将顶点vj的各个邻接点的入度减1；
3.3 将新的入度为0的顶点入栈； - if (count<vertexNum) 输出有回路信息；
void TOpSort(){
int top=-1, count=0;
for(int i=0;i<vertexnum;i++)
if(adjlist[i].in==0) s[++top]=i;
while(top!=-1){
j=s[top--]; cout <<adjlist[j].vertext; count++;
p=adjlist[j].firstedge;
while(p!=NULL){
k=p->adjvex; adjlist[k].in--;
if(adjlist[k].in==0) s[top++]=k;
p=p->next;
}
}
If (count<vertexNum) cout<<“有回路”；
}
AOE
1、AOE网可以回答下列问题：
-
完成整个工程至少需要多少时间?
从始点到终点的路径可能不止一条，只有各条路径上所有活动都完成了，整个工程才算完成。
因此，完成整个工程所需的最短时间取决于从始点到终点的最长路径长度，即这条路径上所有活动的持续时间之和。
这条路径长度最长的路径就叫做关键路径。 -
为缩短完成工程所需的时间, 应当加快哪些活动?
2、关键路径：在AOE网中，从始点到终点具有最大路径长度（该路径上的各个活动所持续的时间之和）的路径称为关键路径。
3、关键活动：关键路径上的活动称为关键活动。
4、要找出关键路径，必须找出关键活动, 即不按期完成就会影响整个工程完成的活动。
5、首先计算以下与关键活动有关的量：
⑴ 事件的最早发生时间ve[k]
⑵ 事件的最迟发生时间vl[k]
⑶ 活动的最早开始时间e[i]
⑷ 活动的最晚开始时间l[i]
最后计算各个活动的时间余量 l[k] - e[k]，时间余量为0者即为关键活动。
6、存储结构的选择：
为处理方便，同时采用了邻接矩阵和边集数组两种存储结构。
邻接矩阵可以方便的查找邻接点，完成时间的最早和最晚发生时间的计算。
边集数组可以方便的计算时间的活动的最晚发生时间
struct Edge{
int from;
int to;
int e;
int l;
};
class Grap{
int vertexnum,e;
int **adjlist; //邻接矩阵
int start,end;
Edge *edge; //边集数组
public:
Grap(int n,int e);
int path();
};
⑴ 事件的最早发生时间ve[k]
ve[k]是指从始点开始到顶点vk的最大路径长度。这个长度决定了所有从顶点vk发出的活动能够开工的最早时间。最大保证先期活动全部结束。
q.push(0);//源点事件入队
for(j=0;j<vertexnum;j++) { //初始化每个事件最早发生时间
ve[j]=0; visit[j]=0; }
visit[0]=1;
while(!q.empty()) {
i=q.front(); //利用标准模板库中的队列实现
q.pop();
for(j=0;j<vertexnum;j++){//计算i的邻接点的ve
if(adjlist[i][j]!=9999 && ve[i]+adjlist[i][j]>ve[j] ){
ve[j]=ve[i]+adjlist[i][j];
if(!visit[j]) //如果j没有被访问过，顶点j入队
q.push(j);
visit[j]=1;
}
}
}
⑵ 事件的最迟发生时间vl[k]
vl[k]是指在不推迟整个工期的前提下,事件vk允许的最晚发生时间。
最小同样保证如果在这一时刻发生事件，后续的工作可以正常进行。 
q.push(vertexnum-1);
for(j=0;j<vertexnum;j++) {
vl[j]=ve[vertexnum-1]; visit[j]=0; }
while(!q.empty()) {
i=q.front();
q.pop();
for(j=0;j<vertexnum;j++) {
if(adjlist[j][i]!=9999 && vl[i]-adjlist[j][i]<vl[j] ){
vl[j]=vl[i]-adjlist[j][i];
if(!visit[j])
q.push(j);
visit[j]=1;
}
}
}
⑶ 活动的最早开始时间e[i]
若活动ai是由弧<vk , vj>表示，则活动ai的最早开始时间应等于事件vk的最早发生时间。因此，有：e[i]=ve[k]
for(i=0;i<e;i++)
{
edge[i].e=ve[edge[i].from];
}
⑷ 活动的最晚开始时间l[i]
活动ai的最晚开始时间是指，在不推迟整个工期的前提下， ai必须开始的最晚时间。
若ai由弧<vk，vj>表示，则ai的最晚开始时间要保证事件vj的最迟发生时间不拖后。
因此，有：l[i]=vl[j]-len<vk, vj>
for(i=0;i<e;i++)
{
edge[i].e=ve[edge[i].from];
edge[i].l=vl[edge[i].to]-adjlist[edge[i].from][edge[i].to];
}
for(i=0;i<e;i++)
{
edge[i].e=ve[edge[i].from];
edge[i].l=vl[edge[i].to]-adjlist[edge[i].from][edge[i].to];
if(edge[i].e==edge[i].l)
cout<<edge[i].from<<" "<<edge[i].to<<endl;
}