宝石装箱(容斥原理)

宝石装箱(容斥原理)

传送门

$ans=总方案数-不可行的方案数=ans_{sum}-ans_{no}$

$ans_{sum}=$总方案数 $=n!$

设集合 $dp[i]$为选 $i$个箱子装不合法宝石的方案数, $a[i]$为第 $i$个箱子不能装的宝石数。

类比背包可得递推式： $dp[i]=dp[i]+dp[i-1]\times a[i]$

令 $A_i$为至少 $i$个箱子不合法的方案数。

则 $A_i=dp[i]\times(n-i)!$

则有不可行的方案数 $=ans_{no}$ $=|A_1\cup A_2\cup A_3\dots\cup A_n|$

根据容斥原理有： $ans_{no}=\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}\times dp[k]\times(k-i)!$

即 $ans=ans_{sum}-ans_{no}\ =n!-\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}\times dp[k]\times(n-k)!$

$n!=(-1)^0\times dp[0]\times n!$

所以 $ans=\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k\times dp[k]\times(n-k)!$

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=8e3+10,mod=998244353;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
int n;
ll dp[N]={1},a[N],f[N]={1};
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,x;i<=n;i++)
        scanf("%d",&x),a[x]++,f[i]=f[i-1]*i%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int j=i;j>=0;j--)
             dp[j+1]=(dp[j+1]+dp[j]*a[i])%mod;
    ll ans=0;
     for(int i=0,p=1;i<=n;i++,p*=-1)
         ans=(ans+dp[i]*p*f[n-i]%mod)%mod;
    ans=(ans+mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}