【数据结构与算法】快速恶补图与矩阵压缩算法

开发工具与关键技术：数据结构与算法

作者：陈芝番

撰写时间：2020.4.26

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前言

图结构是一种比树型结构更为复杂的非线性结构，任意一个节点都可以有任意多个前驱和后继。图结构是一种重要的数据结构，对我们普遍的人来说，图是一种设计和规划等等，而图也可以是一个结构图，对图进行分析，验算，数据元素之间的关系。所谓数组，是有序的元素序列，用于存储多个相同类型数据的集合。

1.图的定义

图是由顶点和边组成，顶点表示图的数据元素，边表示数据元素之间的关系。

图的遍历：从图中某一顶点出发遍历图中其余顶点，且使每一顶点仅被访问一次。

若图中表示边的顶点对是无序的，即称无向边，则图为无向图。

若图中表示变的顶点对是有序的，即称有向边，则图为有向图。

其中图又有完全图，稠密图，稀疏图。若无向图有1/2n（n-1）条边，即图中每对顶点之间都有一条边，即称该无向图为无向完全图。若有向图中有n(n-1)条孤，即图中每对顶点之间都有方向相反的两条孤。则称该有向图为有向完全图。有很少边的图或孤的图称为稀疏图，反之称为稠密图。

当然还有连通图，连通分量；强连通图，强连通分量；权，网等等。

图的存储结构比线性表和树的结构来说更为复杂，既要存储所有顶点的信息，又要存储顶点与顶点之间的所有关系，也就是边的信息。我们常说的“顶点的位置”和邻接点只是一个相对概念，图上任一顶点都可以看做初始顶点，任一顶点邻接点之间不存在次序关系。

2.算法设计需要考虑什么呢

需要考虑三个问题

算法的参数要指定访问的第一个顶点；
要考虑遍历路径可能出现的死循环问题；
要使一个顶点的所有邻接顶点按照某种次序被访问。

3.遍历图的基本方法

（1）深度优先搜索：

算法：

//从第i个顶点出发

Int visited[NAX_VEX]={0};
Void Dfs_m(Mgraph*G,int i){
Printf(“%3c”,G->vexs[i]);//访问顶点
visited[i]=1;
For(j=0;j<VEX_NUM;j++)
If((G->arcs[i][j]==1)&&(!visited[j]))
Dfs_m(G,j);
}

（2）广度优先搜索。

4.问题思考

从第i个顶点出发深度优先遍历以邻接表表示的图的算法

如下:

Typedef emnu {FALSE,TRUE}BOOLEAN;
BOOLEAN Visited[MAX_VEX];
Void DFS (ALGraph *G,int v)
{
linkNode*p;
Visited[v]=TRUE;
Visited(v);//访问顶点
P= G->AdjList[v].firstarc;
While(p!= NULL)
{
If(!Visited[p->adjvex])
{
DFS(G,P->ajdvex);
}
P=p->nextarc;
}
}

5.最短路径问题解法

边上权值非负情形的单源最短路径问题

---Dijkstra算法

初始化s--{V0};
Dist[j]--Gn.arcs[0][j],path[j],--0或-1
{j=1,2,......,n-1}

求出最短路径的长度：

Dist[k]--min{dist[i]},i(-V-s;

-SU{k};

修改：

Dist[j]--min{dist[j],dist[k]+Gn.arcs[k][j]};

Path[j]--k;对于每一个j(-V-S;

判断：

若S=V或也无顶点可加入到S中，则算法结束，否则转（1）。

所有顶点之间的最短路径

---Floyd算法

Void Floyd (int dis [n+1][n+1],int path[n+1][n+1],int n)
{
Int i,j,k;
For(k=1;k<=n;k++)
For(i = 1;i<=n;i++)
For(j=1;j<=n;j++)
If(dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j]
{
Dis[i][j] = dis[i][k]+dis[k][j]);
Path[i][j]=k;
}
}

6.邻接矩阵

邻接矩阵采用两个数组来表示图，一个一维数组，存储图中所有顶点的信息，另一个是二维数组，即邻接矩阵，存储顶点之间的关系。

7.邻接矩阵存储结构定义

Typedef  char  VertexType;
Typedef  int EdgeType;
//定义图结构，用邻接矩阵存储
Typedef  struct {
VertexType vex[Max Vex];//顶点集合
EdgeType arc[Max Vex][MaxVex];//边集合
Int numVertex,numEdge;//图中实际的顶点数和边数
} MGraph;

8.建立图的邻接矩阵

建立无向图邻接矩阵算法描述如下：

Void Creat (MGraph*G)
{
Int i ,j,k;
Printf(“输入顶点数和边数：\n”);
Scanf(“%d,%d,&G->numVertex,&G->numEdge）；
Getchar();
Printf(“输入顶点的集合：\n”);
//输入顶点信息
For(i=0;i<G->numVertex;i++）
Scanf(“%c,&G->vex[i]);
For(i=0;i<G->numVertex;i++)
For(j=0;j<G->numVertex;j++)
G->arc[i][j]=0;
Getchar();
For(k=0;k<G->numEdge;k++)
{
Printf(“请输入边(i,j):\n”);
Scanf(“%d,%d”,&i,&j);
G->arc[i][j]=1;
G->arc[j][i]=1;
}
}

即算法GreatMgraph的时间复杂度是O(n^2)。