学完数据结构你还知道这些查找算法么？

前言

这是我听老师讲课做的笔记,考试要看的。
作者：RodmaChen
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查找表

一.查找

1. 基本概念
2.衡量一个查找方法

二. 静态查找表

1.顺序表的查找
2.有序表的查找（重点掌握二分查找）
3.索引顺序表的查找！

三.动态查找表

1.二叉排序树(BST)
2.平衡二叉树
3.B-树（不常考）

四.边学边练

一.查找

1. 基本概念

查找表：由同一类型的数据元素（记录）组成的集合。可进行的运算：查找、读表员、插入、删除等。依据是否包含插入、删除运算可分为静态查找表和动态查找表两类：

静态查找表：仅对查找表进行查找操作，而不能改变的表；
动态查找表：对查找表除进行查找操作外，可能还要进行向表中插入数据元素，或删除表中数据元素的表。

关键字:是数据元素某个数据项的值,用它可以标识一个数
据元素。
查找：按给定的某个值kx，在查找表中查找关键字为给定值kx的数据元素（记录。

2.衡量一个查找方法

在这里插入图片描述

第一步接下来的课经常用

二. 静态查找表

不管是链式存储或者顺序存储，都有一种基本的存储方式，叫做按值查找，要想查找一个数，都要一个个问。这里讲顺序查找就行了

1.顺序表的查找

（1）顺序查找又称线性查找，是最基本的查找方法之一。

（2）基本思想 ：从表的一端开始逐个进行记录的关键字和给定值的比较。

存储结构：

typedef struct node
{ DataType data[maxsize];//设置一个一维数组，DataType是元素类型
int length;//实际数量
}sqlist;
sqlist L;//定义顺序表

！算法实现 要求能写出来

int sqlist_search(sqlist L,Datatype e)//要返回张三的位置，就是一维数组的下标，所以定义的是int类型
{
int i=0;
While(i<L.length&&L.data[i]!=e)//不能确定循环次数就用while。i<L.length&&L.data[i]!=e没找完且没找到
i++;
if(L.data[i]==e) return i;//找到了就返回下标
else return -1;//找完了没找到
}

性能分析：倒着比较

平均比较次数（设等概率Pi＝1/n）

就上述算法而言，对于n个数据元素的表，给定值k与表中第i个元素关键码相等，即定位第i个记录时，需进行n-i+1次关键码比较，即
$C_i =n-i+1。$

查找成功时： ASLs = Pi*(n-i+1)=(1+2+3+….+n)/n = (n+1)/2
小妙招;最好的只循环1次，加上最坏循环n次，相加除2。
查找不成功时：ASLsm ＝（n+1）
为什么加1：比如一个班里面有n个人，问到第n个人的时候还要多问一次，才能确定没有人

顺序查找的平均查找长度为： ASL=((n+1)/2+(n+1))/2= 3 (n+1) / 4
2）优点：算法简单，对表结构无任何要求，关键字是否有序无要求。

缺点：查找效率低，n较大时不宜采用。

2.有序表的查找（重点掌握二分查找）

概述

使用这种方法，对表有两点要求：

（1）表只能顺序存储

（2）表中的元素必须有序排列

（3）（2）已经排好顺序了，用折半查找（二分查找）来实现。

基本思想

先确定待查记录所在范围,然后取中间元素作为比较对象,若相等,则查找成功,否则如果小于中间元素则将查找区域缩小到左半部分,否则缩小到右半部分,直到找到或找不到该记录为止。

实现步骤

mid low high指的是他的下标

（1) 确定区间的中间位置mid =(low + high)/2

（2) 用给定值与中间位置的关键字值比较：

若相等，则查找成功；
若给定值大,新查找区为后半区： low=mid+1
若给定值小,新查找区为前半区：high=mid-1
对缩小的区域重复上述步,直至low>high时，查找失败

图解事列:在含有9 个数的升序线性表中查找68

查找 88 的过程如下图：

算法实现：

int BinSearch(Sqlist L ，DataType e)
{ //在表L中查找关键码为e的数据元素，若找到返回该元素在表中的位置，否则返回0
int low=1; high=L.length; //设置初始区间，如果从0开始就定义L。length-1
int mid;
while(L.data[mid]!=e&& low<=high)
{
mid=(low+high)/2;
if (e < L.data[mid]) high=mid-1； //调整到左半区
else low=mid+1； //调整到右半区
}
if(L.data[mid]==e) return mid;
else return 0;
}

性能分析

从折半查找过程看，以表的中点为比较对象，并以中点将表分割为两个子表，对定位到的子表继续这种操作。所以，对表中每个数据元素的查找过程，可用二叉树来描述，称这个描述查找过程的二叉树为判定树。

例1：2，5，8，13，25，36，45

小知识：

根据二叉树性质四：：n个结点最大的查找次数（成功查找）：└ log n ┘ +1 可以求出它的深度 ,最小是1次

所以平均查找次数为：（└ log n ┘ +1+1）/2

考试范围：平均比较次数ASL=1/7（1+2x2+4x3）=2

查找不成功UNALS=1/8（8x4）=4

3.索引顺序表的查找！

1.基本思想

分块查找要求将查找表分成若干子表,并对子表建立索引表,查找表的每一个子表由索引表中的索引项确定。

先在索引表中确定要查找的分块，在分块内进行顺序查找。

查找过程：将表分成几块，块内无序，块间有序；先确定待查记录所在块，再在块内查找

适用条件：分块有序表（块内无序，块间有序）

效率在顺序查找和二分查找之间

在这里插入图片描述

2.性能分析
假设：n个数据元素，分成b块，每块有s个数据元素
$ASL={{b+1}\over2}+{{s+1}\over2}={{n\over s}+1\over 2}+{{s+1}\over 2}={1\over2}({n\over s}+s)+1$
要考！ 当s为多少时，ASL最小？
$当 s=\sqrt{n} 时，ASL 最小，为\sqrt{n}+1$
在这里插入图片描述

三.动态查找表

由于线性结构插入删除麻烦，所以这里讲树形结构

1.二叉排序树(BST)

1.定义：

二叉排序树（Binary Sort Tree）可以是一棵空树；也可以是具有下列性质的二叉树：

⑴ 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；

⑵ 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值。

(3) 它的左右子树也都是二叉排序树。

举例：记录的关键码序列为：63，90，70，55，67，42，98，83，10，45，58，则构造一棵二叉排序树的过程如下：

先读入第一个结点作为根，然后读入第二结点，若第二个结点值大于根，则作根的右子树，否则作左子树…

在这里插入图片描述

由上图可以看出，对二叉排序树进行中序遍历，便可得到一个按关键码有序的序列：（10，42，45，55，58，63，67，70，83，90，98），因此，一个无序序列，可通过构一棵二叉排序树而成为有序序列。

2.查找算法

BiTNode* SearchBST（BiTree T,DataType e）//BiTree T代表根节点。BiTNode*：返回位置*p，指向二叉链表的指针
{
BiTNode *p;//工作指针
p=T;//初始值指向根节点
while(p->data!=e&&p!=NULL)
{ 
    if(e>p->data) p=p->rchild;//向左还是向右
	else p=p->lchild;
}
return p;
}

解析：

查找成功：走了一条从根到待查结点的一条路径，返回t
所指向的结点

查找失败：走了一条从根到叶子结点的一条路径，返回t
（NULL）

最大查找长度为二叉排序树的深度，因为比较次数不会超过树的深度。

3.插入算法

由于查找到最后p为空，无法在使用，所以要设置f指针

当一个指针无法完成任务是就用两个指针

void InsertBST(BiTree &T, DataType e)//T是根节点
{ BiTNode *f, *p;
p=*T;
while(p!=NULL)
{ if(p->data==e) return;//如果有这个数值就不需要插入
f=p;//f在父节点
p=((p->data>e)?p=p->lchild:p=p->rchild)
}//循环完毕p为空,f为插入的父结点
p=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));//由于p为空没用了，废物利用一下，设置一个空结点
P->data=e;
p->lchild=NULL;
p->rchild=NULL ;//初始化新结点
if(T==NULL) *T=p;//二级指针：指针自己发生变化。所以前面要设置地址&T
else
if(p->data>f->data) f->rchild=p;
else f->rchild=p;
}

4.删除

要求：在查找成功的情况下, 删除这个结点,仍满足二叉排序树。

三种情况:

删除一个叶子: 只需将被删除结点的父结点相应指针域置空。
删除的结点只有一棵子树: 将子树结点替换父结点。
删除的结点左右子树均有:

PL接替*P成为 *F的子树,PR成为PL最右下结点的右子树（PL表示接结点p的右边left）

PR接替*P成为*F的子树,PL成为PR最左下结点的左子树
列：若删除结点55

*p=55 PL=42 PR=58然后根据上述定理就可知道删除后图的连法

2.平衡二叉树

1.定义

对于一棵非空二叉排序树,它的左子树和右子树都是一棵平衡二叉树,且左子树和右子树的高度之差绝对值不超过1。

平衡因子:该结点的左子树和右子树高度之差,它的值只能为-1、0、1。

2.构造

单向左旋、单向右旋、双向旋转（先左后右）、双向旋转（先右后左）

3.B-树（不常考）

1 、定义

一棵 m 阶的 B-树，或者是空树，或者是满足下列性质的m 叉树 :

(1) 树中每个结点至多有 m 棵子树；

(2) 根结点至少有两棵子树；[2,m]

(3) 除根结点之外的非终端结点至少有 $\lceil m/2 \rceil$ （向上取整）棵子树；[m/2,m]

(4) 所有叶子结点都出现在同一层次

可用来“查找失败”处理。

在这里插入图片描述

四.边学边练

根据升序线性表2，16，32，45，52，58，63，79，84，91画出二叉树并求平均查找次数

答案：

32，5，8，46，58，16，23，30，31构造一棵平衡二叉树：
1）每插入一个结点，从父节点到老祖宗，计算每个结点的平衡因子
2）出现不平衡的点，从他开始画线，画3个，按上述4中类型调整
答案：

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