Wallis公式(点火公式)

$Wallis$公式(点火公式)：

$I_n=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(cos^nx)dx\\=\begin{cases}\dfrac{(n-1)!!}{n!!}\times\dfrac{\pi}{2},n为正偶数\\\dfrac{(n-1)!!}{n!!}\times1\ \ ,n为大于1的奇数\end{cases}$

特别地： $n=1时\rightarrow \large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(cos^nx)dx=1$

推广：

$\large\int_{0}^\pi(sin^nx)dx=2\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx$

$\large\int_{0}^\pi(cos^nx)dx=\begin{cases}0,n为正奇数\\2\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(cos^nx)dx,n为正偶数\end{cases}$

$\large\int_{0}^{2\pi}(sin^nx)dx=\int_{0}^{2\pi}(cos^nx)dx\\=\begin{cases}0,n为正奇数\\ \large4\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx，n为正偶数\end{cases}$

纯手打，记录下。