最近在重新回顾算法部分，刚好看到KMP算法，把自己的一些理解记录下来。
KMP算法的核心，是一个被称为部分匹配表(Partial Match Table)的数组。我觉得理解KMP的最大障碍就是很多人在看了很多关于KMP的文章之后，仍然搞不懂next中的值代表了什么意思。这里我们抛开所有的枝枝蔓蔓，先来解释一下这个数据到底是什么。
对于字符串“abcabex”，它的next如下表所示：
就像例子中所示的，如果待匹配的模式字符串有8个字符，那么next就会有8个值。
我先解释一下字符串的前缀和后缀。如果字符串A和B，存在A=BS，其中S是任意的非空字符串，那就称B为A的前缀。例如，”Harry”的前缀包括{”H”, ”Ha”, ”Har”, ”Harr”}，我们把所有前缀组成的集合，称为字符串的前缀集合。同样可以定义后缀A=SB， 其中S是任意的非空字符串，那就称B为A的后缀，例如，”Potter”的后缀包括{”otter”, ”tter”, ”ter”, ”er”, ”r”}，然后把所有后缀组成的集合，称为字符串的后缀集合。要注意的是，字符串本身并不是自己的后缀。
Next数组储存的是模式串下标为j的位置前面[0,j-1]字符串的前缀集合与后缀集合的交集中最长元素的长度，例如，对于”aba”，它的前缀集合为{”a”, ”ab”}，后缀 集合为{”ba”, ”a”}。两个集合的交集为{”a”}，那么长度最长的元素就是字符串”a”了，长度为1，所以对于”aba”而言，它在next表中对应的值就是1。再比如，对于字符串”ababa”，它的前缀集合为{”a”, ”ab”, ”aba”, ”abab”}，它的后缀集合为{”baba”, ”aba”, ”ba”, ”a”}， 两个集合的交集为{”a”, ”aba”}，其中最长的元素为”aba”，长度为3。
所以我们要在主字符串”abcabfababex”中查找模式字符串”abcabex”,如果在j处匹配失败，根据next数组的性质我们可以知道,此时主字符串i之前next[j]（记录的是前[0,j-1]位字符串的前缀集合与后缀集合的交集中最长元素的长度）位肯定和模式字符串0到j-1位相同。 这是因为主字符串在 i 位失配，也就意味着主字符串从 i−j 到 i 这一段是与模式字符串的 0 到 j 这一段是完全相同的。例如图示主字符串和模式字符串在e处失配，j为5，匹配的是“abcab”,此时next[j]的值为2，模式串中前缀和后缀几何交集最长元素的长度为2，主字符串中i指针之前的 2 位一定与模式字符串的第0位至第 2 位是相同的，即长度为 2的后缀与前缀相同。这样一来，我们就可以将这些字符段的比较省略掉。具体的做法是，保持i指针不动，然后将j指针指向模式字符串的 next[j] 位即可。
KMP算法总体框架如下：
1 int KMP(char * t, char * p,int *next) //t为主字符串，p为子字符串 2 { 3 int i = 0; //i为主字符串当前位置下的标值 4 int j = 0; //j用于子字符串当前位置下标值 5 6 while (i < strlen(t) && j < strlen(p)) 7 { 8 9 if (j == -1 || t[i] == p[j]) //两字母相等则继续 10 { 11 i++; 12 j++; 13 14 } 15 else 16 j = next[j]; //j回溯到合适位置，i不变 17 18 } 19 20 if (j == strlen(p)) 21 return i - j; 22 else 23 return -1; 24 }
有了上面的思路，我们就可以使用next加速字符串的查找了。我们看到如果是在 j 位 失配，那么影响 j 指针回溯的位置的其实是第 j 位的 next 值。
对于next值的推导，求next数组的过程完全可以看成字符串匹配的过程，即以模式字符串为主字符串，以模式字符串的前缀为目标字符串，一旦字符串匹配成功，那么当前的next值就是匹配成功的字符串的长度。
T=”abcdex”时(为了方便观看next中x表示-1)
1)当j=0时，next[0]=-1;
2)当j=1时，j由0到j-1就只有字符“a”，属于其他情况 next[2]=0;
3)当 j=2 时，j由1到j-1串是“ab”，显然“a”与“b”不相等，属其他情
况，next[3]=0;
4)以后同理，所以最终此T串的next[j]为(-1)00000.
2. T=“ababaaaba”
1)当j=0时，next[0]=-1;
2)当j=1时，同上next[1]=0;
3)当j=2时，同上next[2]=0;
4)当j=3时，j由0到j-1的串是“aba”，前缀字符“a”与后缀字符“a”相等，next[3]=1;
5)当j=4时，j由0到j-1的串是“abab”，由于前缀字符“ab”与后缀“ab”相等，所以next[4]=2;
6)当j=5时，j由0到j-1的串是“ababa”，由于前缀字符“aba”与后缀“aba”相等，所以next[5]=3；
7)当j=6时，j由0到j-1的串是“ababaa”，由于前缀字符“ab”与后缀aa”并不相等，只有“a”相等，所以next[6]=1;
8)当j=7 时，j由0到j-1的串是“ababaaa”，只有“a”相等，所以next[7]=1;
9)当j=8时，j由0到j-1的串是“ababaaab”，由于前缀字符“ab”与后缀“ab”相等，所以next[8]=2.
求next数组值的程序如下所示：
1 void getNext(char * p, int * next) 2 { 3 next[0] = -1; 4 int i = 0, j = -1; 5 6 while (i < strlen(p)) 7 { 8 if (j == -1 || p[i] == p[j]) /*p[i]表示后缀的单个字符*/ 9 /*p[j]表示前缀的单个字符*/ 10 { 11 ++i; 12 ++j; 13 next[i] = j; 14 } 15 else 16 j = next[j]; //若字符不同，则j回溯 17 } 18 19 }
总的代码：
1 void getNext(char * p, int * next) 2 { 3 next[0] = -1; 4 int i = 0, j = -1; 5 6 while (i < strlen(p)) 7 { 8 if (j == -1 || p[i] == p[j]) /*p[i]表示后缀的单个字符*/ 9 /*p[j]表示前缀的单个字符*/ 10 { 11 ++i; 12 ++j; 13 next[i] = j; 14 } 15 else 16 j = next[j]; //若字符不同，则j回溯 17 } 18 19 } 20 21 22 int KMP(char * t, char * p,int *next) //t为主字符串，p为子字符串 23 { 24 int i = 0; //i为主字符串当前位置下的标值 25 int j = 0; //j用于子字符串当前位置下标值 26 27 while (i < strlen(t) && j < strlen(p)) 28 { 29 30 if (j == -1 || t[i] == p[j]) //两字母相等则继续 31 { 32 i++; 33 j++; 34 35 } 36 else 37 j = next[j]; //j回溯到合适位置，i不变 38 39 } 40 41 if (j == strlen(p)) 42 return i - j; 43 else 44 return -1; 45 } 46 47 int main(){ 48 char s[]={"ababababca"}; 49 char p[]={"abababca"}; 50 int next[8]; 51 // cout<<strlen(p); 52 getNext(p,next); 53 54 int num=KMP(s,p,next); 55 cout<<num; 56 }