MATLAB函数随笔数值与符号计算篇

前言：这些都是我在学习MATLAB与数学建模时遇到的一些常用函数，就在这里写了下。当然MATLAB十分强大，函数众多，这些只是凤毛麟角，这篇博客我也会一直更新有新的函数就接着写上，希望对大家有所帮助。有不足之处还望指出。
这里是MATLAB画图篇。

数值计算篇

1. 微分方程

解上式x(t)=?

x=dsolve('Dx=r*x*(1-x/m)','x(0)=x0','t')

x =
-m/(exp(log(1 - m/x0) - r*t) - 1)

上面化简一下就是下面这个

解这个微分方程

求出sym来不要慌，s.x就能给结果了，注意这里是s=，要是ans就是ans.x

本题来源B站大仙一品堂

无约束问题的MATLAB解法

2. 无约束极值问题的符号解

求多元函数 $f(x,y)=x^3-y^3+3*x^2+3*y^3-9*x$的极值
具体为啥这样算，都是高数上的知识

clear
syms x y
% x=-100:100;
% y=-100:100;
f=x.^3-y.^3+3*x.^2+3*y.^2-9*x;
% plot3(x,y,z)
df = jacobian(f);%各求一阶偏导数
d2f = jacobian(df);%号求Hessian阵
[xx,yy] =solve(df) %求驻点
xx = double( xx) ;yy = double(yy);%名转化成双精度浮点型数据,下面判断特征值的正负须是数值型数据
for i =1: length( xx)
    a=subs(d2f,{x,y},{xx(i),yy(i)});
    b=eig(a);%名求矩阵的特征值
    f =subs( f,{x,y},{xx(i),yy(i)});
    f = double( f);
    if all(b>0)
        fprintf('(% f,%f)是极小值点,对应的极小值为 %f\n' ,xx(i),yy(i),f);
    elseif all(b<0 )
        fprintf('(% f,% f)是极大值点,对应的极大值为%f\n' ,xx(i),yy(i),f);
    elseif any(b>0)  &&  any(b<0)
        fprintf('(% f,%f)不是极值点\n' ,xx(i),yy(i));
    else
        fprintf('无法判断(% f,% f)是否是极值点\n',xx(i),yy(i));
    end
    i=i+1;
end

3.无约束极值问题的数值解

fminunc 找到指定问题的最小值，minxf(x) ,其中f(x)是一个返回一个标量的函数，x是一个向量或者矩阵。
fminsearch 从x0开始，找到函数fun中的局部最小值x，x0可以是标量，向量，矩阵。

求 $sin(x)+3$在4附近的极小值。

clear
f=@(x) sin(x)+3;
[x,y]=fminsearch(f,4)

clc, clear
f=@ (x) x(1)^3 -x(2)^3 +3 *x(1)^2 +3 *x(2)^2 -9 *x(1) ;
g=@ (x) - f(x);
[xy1,z1] = fminunc( f, rand(2,1))%求极小值点
[xy2 ,z2] = fminsearch(g,rand(2,1));%求极大值点
xy2,z2=-z2

xy1 =
    1.0000
   -0.0000
z1 =
   -5.0000
xy2 =
   -3.0000
    2.0000
ans =
   31.0000

可以看到，在（1，0）取得极小值 -5，在（-3，2）取得极大值 31。

4.求函数的零点和方程组的解

求 $f(x)=x^3-x^2+5*x-3$的零点.

xishu=[1 -1 2 -3];
roots(xishu)

ans =
  -0.1378 + 1.5273i
  -0.1378 - 1.5273i
   1.2757 + 0.0000i

求方程组的解

syms x y
[x,y]=solve(x^2+y-6,y^2+x-6)

x =
                2
               -3
 21^(1/2)/2 + 1/2
 1/2 - 21^(1/2)/2
 
 
y = 
                2
               -3
 1/2 - 21^(1/2)/2
 21^(1/2)/2 + 1/2

函数化简

$(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^{(1/3)}$

syms x
f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3)
r1=simplify(f)			%((2*x + 1)^3/x^3)^(1/3)
% 'Steps',默认是1，设置值可以去任意整数，表示化简的轮次
%'IgnoreAnalyticConstraints',默认是false，如果为true，只考虑纯粹的化简，而不顾及“非完全等价”的可能
r2=simplify(f,'Steps',10,'IgnoreAnalyticConstraints',true)			%1/x + 2

求极限

$sin(t*k)/(t*k),(1-1/x)^{(k*x)}$

syms t x k
g=sin(t*k)/(t*k);
f=(1-1/x)^(k*x);
symvar(g,1)		%这个是看一下我们的自由变量是啥  是t
lig=limit(g,0)	% t趋近于0时的值
lig1=subs(lig,k,1)  %  subs是把t替换成1
lif=limit(f,x,inf) 			
lif1=subs(lif,k,-1)
lif2=vpa(subs(lif,k,-1),48)		%vpa是精度，精确到小数点后48位

求导

普通求导: $sin(|x|)$
abs()是求绝对值，

Y = sign(x) 返回与 x 大小相同的数组 Y，其中 Y 的每个元素是：
1，前提是 x 的对应元素大于 0。
0，前提是 x 的对应元素等于 0。
-1，前提是 x 的对应元素小于 0。
x./abs(x)，前提是 x 为复数。

clear
syms x
x=[-4:0.1:4];
f=sin(abs(x));
d=diff(f)
y=cos(abs(x)).*sign(x);%这里复制了下d
plot(x,y)	%这里plot(x,y)，y必须重新定义，不能用前面算出来的d


d1 =
cos(abs(x))*sign(x)

隐函数求导

泰勒级数展开

syms x
r5=taylor(x*exp(x))	%默认是6级
r8=taylor(x*exp(x),'Order',8)	%这是8级
pretty(r8)		%pretty展开多项式的易读格式

有限/无限级数之和.

syms  n k
f=1/(k*(k+1))
d1=symsum(f,k,1,inf)
d2=symsum(f,k,1,n)


d1 = 
1
d2 = 
n/(n + 1) 

积分

普通积分

int(x^2)

多重积分

$\int_{1}^{2}\int_{\sqrt{x}}^{x^2}\int_{\sqrt{x*y}}^{x^2y}x^2+y^2+z^2dzdydx$

clear
syms x y z 
f=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2)
vpa(f)

符号计算篇

1. 隐函数化简求解

（1）、

上式化简为下式

syms t r i
t=solve(1== ((1-i)/i)*exp(-r*t),t)

t =
-log(-i/(i - 1))/r

化简下面函数

syms b d v1 v2 v3 v4
[v3,v4]=solve(b*v1+d*v2==b*v3+d*v4,b*v1^2+d*v2^2==b*v3^2+d*v4^2,v3,v4)

 
v3 = 
 (b*v1 - d*v1 + 2*d*v2)/(b + d)  
v4 = 
 (2*b*v1 - b*v2 + d*v2)/(b + d)

用符号法求解

$u*w^2+z*w^2=v$
代码很简单，自己运行看结果吧，建议用实时脚本来运行

clear 
syms u v w z
E=u*w^2+z*w^2-v
g(z)=u*w^2+z*w^2==v
symvar(E,1)#后面不带数字1的话是给出所有的参数符号，1是最前面那个，也就是我们要求的参数
symvar(g(z),1)
r1=solve(E)
r2=solve(g(z))
s1=solve(E,z)
s2=solve(g(z),z)
ans=simplify(subs(E,z,s1))#subs就是把s1换成z
ans1=simplify(g(s2))

其他函数篇

3. unifrnd生成(连续)均匀分布的随机数

x=unifrnd(0,12,[1,10]);
y=1:10;
plot(y,x,'*')

x生成了[0,12]内的十个随机数