2018蓝桥杯B组国赛第六题 矩阵求和（数论/欧拉函数）

矩阵求和

经过重重笔试面试的考验，小明成功进入 Macrohard 公司工作。
今天小明的任务是填满这么一张表：
表有 n 行 n 列，行和列的编号都从1算起。
其中第 i 行第 j 个元素的值是 gcd(i, j)的平方，
gcd 表示最大公约数，以下是这个表的前四行的前四列：
1 1 1 1
1 4 1 4
1 1 9 1
1 4 1 16

小明突然冒出一个奇怪的想法，他想知道这张表中所有元素的和。
由于表过于庞大，他希望借助计算机的力量。

「输入格式」
一行一个正整数 n 意义见题。

「输出格式」
一行一个数，表示所有元素的和。由于答案比较大，请输出模 (10^9 + 7)(即：十亿零七) 后的结果。

「样例输入」
4

「样例输出」
48

「数据范围」
对于 30% 的数据，n <= 1000
存在 10% 的数据，n = 10^5
对于 60% 的数据，n <= 10^6
对于 100% 的数据，n <= 10^7

思路：

因为n的范围到了1e7，所以暴力算出此表所有值然后累加必然会超时，所以需要把题目转换一下，即求（1 * k，2 * k，3 * k……，(n-1) * k，n * k）然后累加，k的含义是此数在表里出现的次数。

Code：

#pragma GCC optimiza(2) 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include<cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int N = 1e7+7;
const int mod=1e9+7;

int primes[N], euler[N], cnt ;
bool st[N];

ll s[N];
// 质数存在primes[]中，euler[i] 表示
// i的欧拉函数
// O（n）
void get_eulers(int n)
{
    euler[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt ++ ] = i;
            euler[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                euler[i * primes[j]] = euler[i] * primes[j];
                break;
            }
            euler[i * primes[j]] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
    s[1]=euler[1];
    for(int i=2;i<=n;i++) s[i]=(s[i-1]+2*euler[i])%mod;
}

int main(){
    int t,n;
    cin>>n;
    
    get_eulers(n);
    
    ll ans=0;
    for(int d=1;d<=n;d++){
    	ans=(ans+s[n/d]*d%mod*d%mod)%mod;
	}
	
	cout<<ans<<endl;
    
}