[NOI Online #2 入门组] 建设城市（组合数学） | 错题本

题目

[NOI Online #2 入门组] 建设城市

分析

正整数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 满足 $1 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n \leq r$，则 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的取值方案数为 $C_{n + r - 1}^{r - 1}$。证明：将问题转化为构造一个序列 $k_1, k_2, \cdots, k_r$ 表示 $[1, r]$ 中每个数在 $x$ 中出现了多少次，则 $k$ 与 $x$ 一一对应，我们只需要求 $k$ 的取值方案数， $k$ 需满足的条件是 $k_1 + k_2 + \cdots + k_r = n$ 且 $k_1, k_2, \cdots, k_r \in [0, n]$，插空法得 $k$ 的方案数为 $C_{n + r - 1}^{r - 1}$。

然后枚举 $x, y$ 的高度计算方案数即可。

错因

• 想到 $x$ 转化为 $k$ 的时候考试仅剩十几分钟了，推出 $C_{n + r - 1}^{r - 1}$ 的时候还有 3 分钟考试结束；
• 预处理阶乘的时候要处理到 $m + n$ 而不是 $n$（最后一分钟过了第一个样例第二个样例出 0，如果多 3 分钟就能发现这个问题但是没有时间了，导致 100 pts $\to$ 0 pts）；

代码

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <set>

const int MOD = 998244353;
const int MAXN = 100000;

int M, N, X, Y;
int Fac[2 * MAXN + 5], Inv[2 * MAXN + 5];

inline int Mul(const int &x, const int &y) {
    return (long long)x * y % MOD;
}

inline int Add(int x, const int &y) {
    x += y; if (x >= MOD) x -= MOD; return x;
}

int Pow(int x, int y) {
    int ret = 1;
    while (y) {
        if (y & 1)
            ret = Mul(ret, x);
        x = Mul(x, x);
        y >>= 1;
    }
    return ret;
}

int C(int n, int m) {
    return Mul(Fac[n], Mul(Inv[m], Inv[n - m]));
}

int Cal(int rgt, int n) {
    return C(n + rgt - 1, rgt - 1);
}

int main() {
    scanf("%d%d%d%d", &M, &N, &X, &Y);
    Fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= M + N; i++)
        Fac[i] = Mul(Fac[i - 1], i);
    Inv[M + N] = Pow(Fac[M + N], MOD - 2);
    for (int i = M + N - 1; i >= 0; i--)
        Inv[i] = Mul(Inv[i + 1], i + 1);
    if (X > N) {
        int tmp = 2 * N - Y + 1;
        Y = 2 * N - X + 1;
        X = tmp;
    } // 通过这个处理把问题分成两类: 1 <= x < y <= n; 1 <= x <= n < y <= 2n
    if (Y <= N) {
        int Ans = 0, R = Cal(M, N);
        for (int i = 1; i <= M; i++)
            Ans = Add(Ans, Mul(R, Mul(Cal(i, X - 1), Cal(M - i + 1, N - Y))));
        printf("%d", Ans);
    }
    else {
        int Ans = 0;
        for (int i = 1; i <= M; i++) {
//            printf("%d %d %d %d\n", Cal(i, X - 1), Cal(M - i + 1, N - X), Cal(i, 2 * N - Y), Cal(M - i + 1, Y - N - 1));
            Ans = Add(Ans, Mul(Mul(Cal(i, X - 1), Cal(M - i + 1, N - X)), Mul(Cal(i, 2 * N - Y), Cal(M - i + 1, Y - N - 1))));
        }
        printf("%d", Ans);
    }
    return 0;
}