没头脑和不高兴[CTSC2013][期望+线段树]

前言

我是照着老师讲的+这篇博客思路打的…
某大佬的blog

题目

给出 $n,m$ ，一个随机的 $1\sim n$ 的排列，现在所有奇数位上有记号，有记号的格子数一开始会自动排序，现在你能从相邻的逆序对随机选择一对交换
$Q1:$问排好序的步数的期望和方差？
$Q2:$增加区间修改操作(修改格子上的记号)，每次修改后询问步数的期望？
$1\le n,m\le 10^5$

思路

发现你选择交换相邻逆序对顺序对答案无影响，每次操作答案即为逆序对个数， $(i,j)$ 是否为逆序对独立,于是：
根据期望线性性可得：

$E(步数)=E(逆序对个数)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^np_{ij}$

考虑对 $p_{ij}$ (i<j) 的计算:

1. $i,j$ 均无标记
   由于随机， $p_{ij}=\frac{1}{2}$
2. $i,j$ 均有标记
   $p_{ij}=0$
3. $i$ 有, $j$ 没有
   似乎有点难，设有 $x$ 个数打标记， $i$ 是第 $rnk_i$ 个数打了标记，我们可以考虑为在有 $n$ 个球的盒子里面抓 $x+1$ 个球排好序后随机指定一个为 $j$ 所抓的，得出概率为 $\frac{rnk_i}{x+1}$
4. $j$ 有, $i$ 没有
   同理 $3$ 可得概率为 $\frac{x+1-rnk_i}{x+1}$

那么考虑计算刚开始的期望：

1. 长度为偶数 $2n$
   $E(X)=\frac{1}{2}\binom{n}{2}+(\frac{1*n}{n+1}+\frac{2*(n-1)}{n+1}+...+\frac{n*1}{n+1})+(\frac{(n+1-2)*1}{n+1}+\frac{(n+1-3)*2}{n+1}+...+\frac{(n+1-n)*(n-1)}{n+1}$
   $=\frac{n*(n-1)}{4}+\sum_{i=1}^{n}\frac{i*(n-i+1)}{n+1}+\sum_{i=1}^{n-1}\frac{(n-i)*i}{n+1}$
   $=\frac{n*(n-1)}{4}+\frac{1}{n+1}(\frac{(n+1)^2*n}{2}-\frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6}+\frac{(n-1)*n^2}{2}-\frac{(n-1)*n*(2n-1)}{6})$
   $=\frac{7n^2-n}{12}$
2. 长度为奇数 $2n+1$
   $E(X)=\frac{1}{2}\binom{n}{2}+(\frac{1*n}{n+2}+\frac{2*(n-1)}{n+2}+...+\frac{1*n}{n+2})+(\frac{(n+2-2)*1}{n+2}+\frac{(n+2-3)*2}{n+2}+...+\frac{(n+2-(n+1))*n}{n+2}$
   $=\frac{7n^2+n}{12}$

(真TM难算)
考虑方差计算：
$D((x-E(x))^2)=E(x^2-2xE(x)+E(x)^2)$
$=E(x^2)-2E(xE(x))+E(x)^2$
$=E(x^2)-E(x)^2$
我们只需要算 $E(x^2)$ 即可…
真的不会啊，这 $x$ 的分布函数咋求？
好像是利用拉格朗日插值打表
就当这道题练期望吧
方差答案：

长度为偶数 $2n$ : $\frac{54*n^3+13*n^2+23n}{360}$

长度为奇数 $2n+1$ : $\frac{54*n^3+55*n^2-29n}{360}$

考虑修改操作，情况 $1,2$ 通过简单的区间操作求出，对于情况 $3,4$ 考虑每一个未标记位置 $i$ 对答案的贡献：

1. $j<i$ ， $j$ 被标记
   设 $i$ 前面有 $k$ 个位置被标记，当前总标记为 $x$
   那么 $i$ 对答案的贡献为 $\sum_{i=1}^k\frac{i}{x+1}=\frac{1}{x+1}*\frac{k*(k+1)}{2}$
   然后就是高端操作了…
   难点在计算 $\frac{k*(k+1)}{2}$
   发现 $\frac{k*(k+1)}{2}=\frac{k*(k-1)}{2}+k=\binom{k}{2}+k$
   记标记位置为 $1$ ,没有为 $0$ ，实际上统计 $110$ 和 $10$ 的个数
2. $i<j$ ， $j$ 被标记
   差不多，设 $i$ 后面有 $k$ 个位置被标记
   那么 $i$ 对答案的贡献为 $\sum_{i=x+1-k}^x\frac{x+1-i}{x+1}=\sum_{i=1}^k\frac{i}{x+1}=\frac{1}{x+1}*\frac{k*(k+1)}{2}$
   即统计 $011$ 和 $01$ 的个数

线段树即可 $1,2$ 通过统计 $0,1$ 个数能求出

代码

#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<climits>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
//#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
//char buf[(1 << 21) + 1], *p1 = buf, *p2 = buf;
inline int read() {
	bool f=0;int x=0;char c=getchar();
	while(c<'0'||'9'<c){if(c==EOF)exit(0);if(c=='-')f=1;c=getchar();}
	while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return !f?x:-x;
}
#define MAXN 100000
#define INF 0x3f3f3f3f
LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
struct node{
	int l,r,lazy;
	LL cnt_0,cnt_1,cnt_01,cnt_10,cnt_011,cnt_110;
	friend node operator + (node a,node b){
		node c;
		c.l=a.l,c.r=b.r,c.lazy=-1;
		c.cnt_0=a.cnt_0+b.cnt_0;
		c.cnt_1=a.cnt_1+b.cnt_1;
		c.cnt_01=a.cnt_01+b.cnt_01+a.cnt_0*b.cnt_1;
		c.cnt_10=a.cnt_10+b.cnt_10+a.cnt_1*b.cnt_0;
		c.cnt_011=a.cnt_011+b.cnt_011+a.cnt_01*b.cnt_1+a.cnt_0*b.cnt_1*(b.cnt_1-1)/2;
		c.cnt_110=a.cnt_110+b.cnt_110+a.cnt_1*b.cnt_10+a.cnt_1*(a.cnt_1-1)/2*b.cnt_0;
		return c;
	}
}tree[5*MAXN+5];
#define lch (u<<1)
#define rch (u<<1|1)
void PushUp(int u){
	tree[u]=tree[lch]+tree[rch];
	return ;
}
void PushDown(int u,int L,int Mid,int R){
	if(tree[u].lazy==-1) return ;
	tree[lch]=(node){L,Mid,tree[u].lazy,(Mid-L+1)*(tree[u].lazy^1),(Mid-L+1)*tree[u].lazy,0,0,0,0};
	tree[rch]=(node){Mid+1,R,tree[u].lazy,(R-Mid)*(tree[u].lazy^1),(R-Mid)*tree[u].lazy,0,0,0,0};
	tree[u].lazy=-1;
	return ;
}
void Build(int u,int L,int R){
	if(L==R){
		tree[u]=(node){L,R,-1,(L&1)^1,(L&1),0,0,0,0};
		return ;
	}
	int Mid=(L+R)>>1;
	Build(lch,L,Mid),Build(rch,Mid+1,R);
	PushUp(u);
	return ;
}
void Modify(int u,int L,int R,int qL,int qR,int v){
	if(qL<=L&&R<=qR){
		tree[u]=(node){L,R,v,(R-L+1)*(v^1),(R-L+1)*v,0,0,0,0};
		return ;
	}
	int Mid=(L+R)>>1;
	PushDown(u,L,Mid,R);
	if(qL<=Mid)
		Modify(lch,L,Mid,qL,qR,v);
	if(Mid+1<=qR)
		Modify(rch,Mid+1,R,qL,qR,v);
	PushUp(u);
	return ;
}
int main(){
	LL n=read(),x=n/2,m=read();
	if(n&1){
		LL p=7*x*x+x,q=12,g=gcd(p,q);
		printf("%lld/%lld\n",p/g,q/g);
		p=54*x*x*x+55*x*x-29*x,q=360,g=gcd(p,q);
		printf("%lld/%lld\n",p/g,q/g);
	}
	else{
		LL p=7*x*x-x,q=12,g=gcd(p,q);
		printf("%lld/%lld\n",p/g,q/g);
		p=54*x*x*x+13*x*x+23*x,q=360,g=gcd(p,q);
		printf("%lld/%lld\n",p/g,q/g);
	}
	Build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l=read(),r=read(),v=read();
		Modify(1,1,n,l,r,v);
		node Rt=tree[1];
		LL p1=Rt.cnt_01+Rt.cnt_011+Rt.cnt_10+Rt.cnt_110,q1=Rt.cnt_1+1;
		LL p2=Rt.cnt_0*(Rt.cnt_0-1),q2=4;
		LL p=p1*q2+p2*q1,q=q1*q2,g=gcd(p,q);
		printf("%lld/%lld\n",p/g,q/g);
	}
	return 0;
}

题外话

CF的k不相交子段和的18个变量教会我做人，这题实际做法跟那道比起来太简单了…