隐函数组知识点总结

隐函数组

隐函数组就是多了一个式子，本来一个变量，现在两个变量。
比如 $F(x,y,u,v)=0，G(x,y,u,v)=0$确定了隐函数组 $u=f(x,y)，v=g(x,y)$
这是一个例子而已，变量到底谁是谁的函数还是看题目怎么说的。

雅可比行列式
$\begin{gathered} \begin{vmatrix} F_u& F_v \\ G_u & G_v \end{vmatrix} \quad \end{gathered}$
可以记成 $\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}$

隐函数组定理：如果满足
F(x,y,u,v)连续，G(x,y,u,v)连续，
$F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0，G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$（初始条件）
一阶偏导数连续
雅可比矩阵在 $P_0$点不为0
那么确定了连续的隐函数 $u=f(x,y)，v=g(x,y)$
隐函数的偏导数连续且可以用求导的方法算出来。
偏导的公式书上有，但是感觉烦，但是自己直接对两个式子分别对x,y求导得到一个二元一次的方程组，解起来好像也不简单…

所以求隐函数偏导的基本方法：
先验证满不满足初始条件，再求出 $F_u,F_v,G_u,G_v$看看雅可比矩阵会不会是0.

然后一种方法是对两个变量x,y分别求导得到四个式子，分别可以解出 $u_x,u_y,v_x,v_y$（就是解二元一次方程组，这时候可以用高斯消元法）
但是可能会变量关系太复杂，算起来比较烦
注意的是，给出的方程组一定化为F=0,G=0的形式。
另外求偏导的时候一定要注意谁是谁的函数。

那么第二种方法就是套公式了。感觉有点烦，但可以接受。
也要注意把已知的两个方程写成F=0,G=0的形式
公式：
$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}$ $\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,x)}$
$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,v)}$ $\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,y)}$
J是雅可比矩阵即 $\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}$
记忆的时候，求哪个变量对x的导数，矩阵里就把那个变量用x换掉。
注意u,x的顺序不能改变，变了就会差一个负号。
注意公式是针对两个隐函数和两个已知方程的，题目要哪个就求哪个。

那么关键问题在于，啥时候用哪个？
当然其实两个方法本质是一样的，但是第一种更灵活。
我看了一下：
如果是F(x,y)直接给了，里面又没有f(x,y)这种抽象函数的时候，直接求导就行，这样会方便一点。
如果是F(x,y)是抽象函数，或者一部分是抽象函数，可能带公式会简单。
但是，如果函数组不止有两个，隐函数也不只有两个，那么最好就是自己求导。

隐函数组的反函数组

就是本来是u=u(x,y) ,v=v(x,y)
现在变成了x=x(u,v) ,y=y(u,v)
就是现在变成了x,y是u,v的函数了。

反函数组定理：
设隐函数组u=u(x,y) v=v(x,y)和它的一阶偏导数连续，并且有初始条件： $u_0=u(x_0,y_0) ,v_0=v(x_0,y_0)$
$p_0$点 $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\not=0$
则存在反函数:x=x(u,v) ,y=y(u,v）满足 $p_0$点为0，一阶偏导数是
$\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial v}{\partial y}/\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$ $\frac{\partial x}{\partial v}=\frac{\partial u}{\partial y}/\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$
$\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{\partial v}{\partial x}/\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$ $\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{\partial v}{\partial x}/\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$

注意看，要求的是隐函数组的反函数组还是其导数。
反函数组的偏导也可以用第一种方法，自己对两个方程组求偏导再解二元一次方程组做。如果懒得记公式，就自己求导吧。