深度学习笔记一

1. 深度学习笔记一

1.1 绪论

（1）关于人工智能、机器学习与深度学习之间的关系：

人工智能是一种科技领域，分为机器学习，数据挖掘（大概是大数据方向）以及其他方面如作为AL分支的NLP等。对于机器学习，根据有无监督又分为全监督学习（回归算法、朴素贝叶斯以及SVM等），无监督学习（聚类算法，如sklearn的KMeans）以及半监督学习；根据是否应用了神经网络又分为传统机器学习以及神经网络(Neural Network)——深度学习。

（2）传统机器学习中，特征是人工设计的，在实际应用中，特征往往比分类器更重要。整个过程为原始数据—数据预处理—特征提取—特征转换—预测识别（浅层学习），最终得到结果。Kaggle版Hello World之泰坦尼克号乘客生存预测可以加深这方面的理解。

（3）传统机器学习 VS 深度学习

专家系统方法：手工设计程序

传统机器学习：人基于对问题的理解，手动设计特征。学习的过程，是从手动设计的特征到输出这样一个映射。

简单的表示学习：没有人工参与，自动学习特征。人工设计的特征不一定能穷尽真实世界的情况，且主观因素会产生影响。

深度学习：真正有效的特征应该是分层的，深度学习的过程就是从输入到简单特征，再到复杂特征，经过映射得到输出的过程。

（4）BP算法

在神经网络里增加了一个隐层，解决了XOR难题，效率比感知器大大提高。反向传播算法把纠错的运算量下降到只和神经元数目成正比。

（5）DBM & RBM

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算法借用了统计力学中玻尔兹曼分布的概念：一个微粒在某个状态的几率，和那个状态的能量的指数成反比，和它的温度的倒数的指数成反比。使用所谓的受限玻尔兹曼机来学习。RBM相当于一个两层的神经网络，同层神经元不可连接（所以叫“受限”）。深度置信网络DBN就是几层RBM叠加在一起。RBM可以从输入数据进行预先训练，自己发现重要的特征，对神经网络连接的权重进行有效的初始化。被称作：特征提取器或者自动编码器。

（6）GPU

工作的核心特点：同时处理海量数据。而GPU在底层的ALU是基于单指令多数据流的架构，善于对大批量数据进行处理。神经网络的计算工作，本质上是大量矩阵运算的操作，适合使用GPU。

（老黄赶紧发布30系显卡，这样我就能买上一代了T^T）

（7）深度学习的“不能”

算法输出不稳定，容易被攻击。两张图像素级别的差别就可能造成识别的错误。

模型复杂度高，难以纠错和调试 。

模型层级复合程度高，参数不透明。

端到端训练方式对数据依赖性强，模型增量性差。

专注直观感知类问题，对开放性推理问题无能为力。

人类知识无法有效引入进行监督，机器偏见难以避免（算法必然依赖大数据，但数据不是中立的，从真实社会中抽取必然带有社会固有的不平等、排斥性和歧视）。

1.2 神经网络基础

1. 浅层神经网络

（1）生物神经元：多输入单输出，具有时间整合和空间整合的特性，分兴奋性输出和抑制性输入两种类型，具有阈值特性。

（2）M-P神经元：对生物神经元的抽象和简化。多输入信号进行累加\(\Sigma_i x_i\)

权值\(\omega_i\)正负模拟兴奋或抑制，大小模拟强度。输入和超过阈值\(\theta\)，神经元被激活（fire）。

输出为\(y=f(\Sigma \omega_i x_i - \theta)\)。有时看到的写法往往是\(\omega^T x\)，看不到\(\theta\)，可以这么想：把\(\omega_0\)看作\(-\theta\)， \(x_0\)看作1，就是对上式更简洁的描述了。

为什么需要激活函数呢？对于激活函数\(f\)，神经元继续传递信息、产生新连接的概率（超过阈值被激活，但不一定传递，比如闹钟响了我还有可能赖床2333）。如果没有激活函数，就相当于矩阵连乘，\(x^T W_1 ... W_n = x^T \Pi W_k\)，多层和一层一样，只能拟合线性函数。

（3）常见的激活函数：

线性函数（如 恒等函数）：\(f(x)=kx+c\)

S性函数：\(\sigma(z)= \frac{1}{1+e^-z}\) \(\sigma(z)'= \sigma(z)(1-\sigma(z))\) 问题：容易饱和且输出不对称。

（4）单层感知器

M-P神经元的权重预先设置，无法学习。单层感知器是首个可以学习的人工神经网络。

逻辑非：\(h_\Theta(x)=g(10-20x_1)\) 逻辑或：\(h_\Theta(x)=g(-10+20x_1+20x_2)\)

（5）多层感知器

可以实现同或门，解决非线性问题。

（6）万有逼近定理

如果一个隐层包含足够多的神经元，三层前馈神经网络（输入-隐层-输出）能够任意精度逼近任意预定的连续函数。

为什么线性分类任务组合后可以解决非线性分类任务？第二层感知器看到的其实不是原始的数据分布，看到的是被第一层感知器进行空间变换后的分布。

当隐层足够宽时，双隐层感知器（输入-隐层1-隐层2-输出）可以逼近任意非连续函数，可以解决任何复杂的分类问题。

（7）神经网络每一层的作用

每一层数学公式：\(\vec{y}=a(W\vec{x}+b)\)

完成输入->输出空间变换，包括：

线性变换\(W\vec{x}\)：升/降维，放大/缩小，旋转。

\(+b\)：平移

\(a\)：弯曲

训练数据就是让神经网络去选择这样一个线性或者非线性的变换。

神经网络学习如何利用矩阵的线性变换加激活函数的非线性变换，将原始输入空间投影到线性可分的空间去分类/回归。

增加节点数：增加维度，即增加线性转换能力。

增加层数：增加激活函数的次数，即增加非线性转换次数。

（8）更宽 or 更深？

在神经元总数相同的情况下，增加网络深度可以比增加宽度带来更强的网络表示能力，产生更多的线性区域。

宽度和深度对函数复杂度的贡献是不同的，深度的贡献是指数增长，宽度的贡献是线性的。

（9）神经网络的参数学习：误差反向传播

多层神经网络可看成是一个复合的非线性多元函数。给定训练数据\({x^i,y^i}\)，希望损失

\(\Sigma_i loss(F(x^i),y^i)\)尽可能小。

无约束优化：梯度下降

参数沿负梯度方向更新可以使函数值下降（通过泰勒展开可证明）。

\(\theta_j=\theta_j-\alpha\frac{\partial }{\partial \theta_j}J(\theta)\)

三层前馈神经网络的BP算法：

前馈为\(z[2]=W[2]*a[1]\)

反馈为\(da[1]=W[2]*dz[2]\)

残差为损失函数在某个节点的偏导数。

（10）深度学习开发框架

为什么要基于PyTorch？涨势迅猛，稳坐榜眼。相比Tensorflow更友好。

（11）深层神经网络的问题：梯度消失

Sigmoid激活函数求导后在\(\sigma(z)=\frac{1}{2}\)处最大为\(\frac{1}{4}\)，取其他值时更小，这样反向传播时有很多个节点。就会造成梯度消失这样的问题。

增加深度会造成梯度消失(gradient vanishing)，误差无法传播。多层网络容易陷入局部极值，难以训练。因此三层神经网络是主流。同时预训练和新激活函数使深度成为可能。

2. 深层神经网络

（1）逐层预训练（layer-wise- pre-training）

问题一：网络层数越多，局部极小值就越多，有可能网络收敛到很差的局部极小值里。

问题二：只能更新后面几层的参数。

解决：找到一个还不错的初始值，即权重初始化。

每次选择一层进行逐层预训练，最后再从上往下进行一次微调（fine-tuning）

（2）受限玻尔兹曼机和自编码器

逐层预训练是看不到输出的，应该怎么计算参数呢？

自编码器（autoencoder）假设输入与输出相同（target=input），是一种尽可能复现输入信号的神经网络。将input输入一个encoder编码器，就会得到一个code；加一个decoder解码器输出信息。通过调整encoder和decoder的参数，使得重构误差最小。没有额外监督信息：无标签数据，误差的来源是直接重构后信号与原输入相比得到。

受限玻尔兹曼机（RBM）是两层的神经网络，包含可见层v（输入层）和隐藏层h。不同层之间全连接，层内无连接，是二分图（匈牙利算法和二分图最大独立集啥的还没学QAQ）。与感知器不同，RBM没有显式的重构过程。从联合概率到条件概率。

自编码器 VS 受限玻尔兹曼机

Python中的图像处理

1. 下载并显示图像

!wget https://raw.githubusercontent.com/summitgao/ImageGallery/master/yeast_colony_array.jpg

import matplotlib
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

import skimage
from skimage import data
from skimage import io

colony = io.imread('yeast_colony_array.jpg')
print(type(colony))
print(colony.shape)

可以看到colony的类型是numpy的ndarray（多维容器）。

在这里Image读出来的是PIL的类型，而skimage.io读出来的数据是numpy格式的。

# Plot all channels of a real image
plt.subplot(121)
plt.imshow(colony[:,:,:])
plt.title('3-channel image')
plt.axis('off')

# Plot one channel only
plt.subplot(122)
plt.imshow(colony[:,:,0])
plt.title('1-channel image')
plt.axis('off');

matplotlib在大数据的课上学过了，就不赘述了。

2. 读取并改变图像像素值

# Get the pixel value at row 10, column 10 on the 10th row and 20th column
camera = data.camera()
print(camera[10, 20])

# Set a region to black
camera[30:100, 10:100] = 0
plt.imshow(camera, 'gray')

设置了一个区域为灰色。

skimage.data.camera()即灰度相机图像，data自带的。

# Set the first ten lines to black
camera = data.camera()
camera[:10] = 0
plt.imshow(camera, 'gray')

设置前十行为灰色。

# Set to "white" (255) pixels where mask is True
camera = data.camera()
mask = camera < 80
camera[mask] = 255
plt.imshow(camera, 'gray')

这波是黑白反转。

# Change the color for real images
cat = data.chelsea()
plt.imshow(cat)

展示一下猫，这也是自带的。

# Set brighter pixels to red
red_cat = cat.copy()
reddish = cat[:, :, 0] > 160
red_cat[reddish] = [255, 0, 0]
plt.imshow(red_cat)

把>160的高亮地方的像素设置为红色。

# Change RGB color to BGR for openCV
BGR_cat = cat[:, :, ::-1]
plt.imshow(BGR_cat)

改变颜色。

3. 转换图像数据类型

• img_as_float Convert to 64-bit floating point.

• img_as_ubyte Convert to 8-bit uint.

• img_as_uint Convert to 16-bit uint.

• img_as_int Convert to 16-bit int.

from skimage import img_as_float, img_as_ubyte
float_cat = img_as_float(cat)
uint_cat = img_as_ubyte(float_cat)

skimage中，图片用numpy的数组来存储。float的范围是-1~1。

4. 显示图像直方图

img = data.camera()
plt.hist(img.ravel(), bins=256, histtype='step', color='black');

numpy的ravel()将多维数组降至一维。

5. 图像分割

# Use colony image for segmentation
colony = io.imread('yeast_colony_array.jpg')

# Plot histogram
img = skimage.color.rgb2gray(colony)
plt.hist(img.ravel(), bins=256, histtype='step', color='black');

# Use thresholding
plt.imshow(img>0.5)

使用阈值（作用为降噪...?）

6. Canny 算子用于边缘检测

from skimage.feature import canny
from scipy import ndimage as ndi
img_edges = canny(img)
img_filled = ndi.binary_fill_holes(img_edges)

Plot

plt.figure(figsize=(18, 12))
plt.subplot(121)
plt.imshow(img_edges, 'gray')
plt.subplot(122)
plt.imshow(img_filled, 'gray')

Canny算子是目前找到的一个最优的边缘检测算子。步骤的话balabala

貌似是第一张图显示边缘，第二张图显示填充后的？

7. 改变图像对比度

# Load an example image
img = data.camera()
plt.imshow(img, 'gray')

# Contrast stretching
p2, p98 = np.percentile(img, (2, 98))
img_rescale = exposure.rescale_intensity(img, in_range=(p2, p98))
plt.imshow(img_rescale, 'gray')

这里会出现一个NameError: name 'exposure' is not defined，原因是缺少from skimage import exposure。

percentile(img, (2, 98))在python中计算一个多维数组的任意百分比分位数，此处的百分位是从小到大排列，只需用np.percentile即可。这里的写法是解包了..?

skimage.exposure.exposure 模块中的函数，在对图像进行拉伸或者伸缩强度水平后返回修改后的图像，

rescale_intensity(image, in_range=’image’, out_range=’dtype’)

输入图像和输出图像的强度范围分别由in_range 和out_range指定，用来拉伸或缩小输入图像的强度范围。

# Equalization
img_eq = exposure.equalize_hist(img)
plt.imshow(img_eq, 'gray')

这里是对直方图均衡化。

# Adaptive Equalization
img_adapteq = exposure.equalize_adapthist(img, clip_limit=0.03)
plt.imshow(img_adapteq, 'gray')

另一个直方图均衡化函数，有限对比度自适应直方图均衡。clip_limit为剪切极限，归一化在0和1之间（更高的值给出更多的对比度）。

# Display results
def plot_img_and_hist(img, axes, bins=256):
    """Plot an image along with its histogram and cumulative histogram.

    """
    img = img_as_float(img)
    ax_img, ax_hist = axes
    ax_cdf = ax_hist.twinx()

    # Display image
    ax_img.imshow(img, cmap=plt.cm.gray)
    ax_img.set_axis_off()
    ax_img.set_adjustable('box')

    # Display histogram
    ax_hist.hist(img.ravel(), bins=bins, histtype='step', color='black')
    ax_hist.ticklabel_format(axis='y', style='scientific', scilimits=(0, 0))
    ax_hist.set_xlabel('Pixel intensity')
    ax_hist.set_xlim(0, 1)
    ax_hist.set_yticks([])

    # Display cumulative distribution
    img_cdf, bins = exposure.cumulative_distribution(img, bins)
    ax_cdf.plot(bins, img_cdf, 'r')
    ax_cdf.set_yticks([])

    return ax_img, ax_hist, ax_cdf

fig = plt.figure(figsize=(16, 8))
axes = np.zeros((2, 4), dtype=np.object)
axes[0, 0] = fig.add_subplot(2, 4, 1)
for i in range(1, 4):
    axes[0, i] = fig.add_subplot(2, 4, 1+i, sharex=axes[0,0], sharey=axes[0,0])
for i in range(0, 4):
    axes[1, i] = fig.add_subplot(2, 4, 5+i)

ax_img, ax_hist, ax_cdf = plot_img_and_hist(img, axes[:, 0])
ax_img.set_title('Low contrast image')

y_min, y_max = ax_hist.get_ylim()
ax_hist.set_ylabel('Number of pixels')
ax_hist.set_yticks(np.linspace(0, y_max, 5))

ax_img, ax_hist, ax_cdf = plot_img_and_hist(img_rescale, axes[:, 1])
ax_img.set_title('Contrast stretching')

ax_img, ax_hist, ax_cdf = plot_img_and_hist(img_eq, axes[:, 2])
ax_img.set_title('Histogram equalization')

ax_img, ax_hist, ax_cdf = plot_img_and_hist(img_adapteq, axes[:, 3])
ax_img.set_title('Adaptive equalization')

ax_cdf.set_ylabel('Fraction of total intensity')
ax_cdf.set_yticks(np.linspace(0, 1, 5))

fig.tight_layout()
plt.show()

PyTorch学习笔记

1. 定义数据

一般定义数据使用torch.Tensor ， tensor的意思是张量，是数字各种形式的总称

import torch
# 可以是一个数
x = torch.tensor(666)
print(x)

# 可以是一维数组（向量）
x = torch.tensor([1,2,3,4,5,6])
print(x)

张量是数字各种形式的总称。

# 可以是二维数组（矩阵）
x = torch.ones(2,3)
print(x)

# 可以是任意维度的数组（张量）
x = torch.ones(2,3,4)
print(x)

输出为tensor([[[1., 1., 1., 1.], [1., 1., 1., 1.], [1., 1., 1., 1.]], [[1., 1., 1., 1.], [1., 1., 1., 1.], [1., 1., 1., 1.]]])

Tensor支持各种各样类型的数据，包括：

torch.float32, torch.float64, torch.float16, torch.uint8, torch.int8, torch.int16, torch.int32, torch.int64 。这里不过多描述。

创建Tensor有多种方法，包括：ones, zeros, eye, arange, linspace, rand, randn, normal, uniform, randperm, 使用的时候可以在线搜，下面主要通过代码展示。

# 创建一个空张量
x = torch.empty(5,3)
print(x)

# 创建一个随机初始化的张量
x = torch.rand(5,3)
print(x)

# 创建一个全0的张量，里面的数据类型为 long
x = torch.zeros(5,3,dtype=torch.long)
print(x)

# 基于现有的tensor，创建一个新tensor，
# 从而可以利用原有的tensor的dtype，device，size之类的属性信息
y = x.new_ones(5,3)   #tensor new_* 方法，利用原来tensor的dtype，device
print(y)

z = torch.randn_like(x, dtype=torch.float)    # 利用原来的tensor的大小，但是重新定义了dtype
print(z)

2. 定义操作

凡是用Tensor进行各种运算的，都是Function

最终，还是需要用Tensor来进行计算的，计算无非是

• 基本运算，加减乘除，求幂求余
• 布尔运算，大于小于，最大最小
• 线性运算，矩阵乘法，求模，求行列式

基本运算包括： abs/sqrt/div/exp/fmod/pow ，及一些三角函数 cos/ sin/ asin/ atan2/ cosh，及 ceil/round/floor/trunc 等具体在使用的时候可以百度一下

布尔运算包括： gt/lt/ge/le/eq/ne，topk, sort, max/min

线性计算包括： trace, diag, mm/bmm，t，dot/cross，inverse，svd 等

# 创建一个 2x4 的tensor
m = torch.Tensor([[2, 5, 3, 7],
                  [4, 2, 1, 9]])

print(m.size(0), m.size(1), m.size(), sep=' -- ')

显示每一个维度的size。

# 返回 m 中元素的数量
print(m.numel())
# 返回 第0行，第2列的数
print(m[0][2])
# 返回 第1列的全部元素
print(m[:, 1])
# 返回 第0行的全部元素
print(m[0, :])
# Create tensor of numbers from 1 to 5
# 注意这里结果是1到4，没有5
v = torch.arange(1, 5)
print(v)
# Scalar product
m @ v
# Calculated by 1*2 + 2*5 + 3*3 + 4*7
m[[0], :] @ v
# Add a random tensor of size 2x4 to m
m + torch.rand(2, 4)
# 转置，由 2x4 变为 4x2
print(m.t())
# 使用 transpose 也可以达到相同的效果，具体使用方法可以百度
print(m.transpose(0, 1))
# returns a 1D tensor of steps equally spaced points between start=3, end=8 and steps=20
torch.linspace(3, 8, 20)
#输出为tensor([3.0000, 3.2632, 3.5263, 3.7895, 4.0526, 4.3158, 4.5789, 4.8421, 5.1053,5.3684, 5.6316, 5.8947, 6.1579, 6.4211, 6.6842, 6.9474, 7.2105, 7.4737,7.7368, 8.0000])
from matplotlib import pyplot as plt

# matlabplotlib 只能显示numpy类型的数据，下面展示了转换数据类型，然后显示
# 注意 randn 是生成均值为 0， 方差为 1 的随机数
# 下面是生成 1000 个随机数，并按照 100 个 bin 统计直方图
plt.hist(torch.randn(1000).numpy(), 100);
#注意上面转换为numpy的方法
# 当数据非常非常多的时候，正态分布会体现的非常明显
plt.hist(torch.randn(10**6).numpy(), 100);

# 创建两个 1x4 的tensor
a = torch.Tensor([[1, 2, 3, 4]])
b = torch.Tensor([[5, 6, 7, 8]])

# 在 0 方向拼接 （即在 Y 方各上拼接）, 会得到 2x4 的矩阵
print( torch.cat((a,b), 0))
# 在 1 方向拼接 （即在 X 方各上拼接）, 会得到 1x8 的矩阵
print( torch.cat((a,b), 1))

螺旋数据分类

如同课程视频里那个例子，对于螺旋数据需要对空间进行变换。

!wget https://raw.githubusercontent.com/Atcold/pytorch-Deep-Learning/master/res/plot_lib.py

首先是下载数据，然后import基本的库，对参数初始化。

import random
import torch
from torch import nn, optim
import math
from IPython import display
from plot_lib import plot_data, plot_model, set_default

# 因为colab是支持GPU的，torch 将在 GPU 上运行
device = torch.device("cuda:0" if torch.cuda.is_available() else "cpu")
print('device: ', device)

# 初始化随机数种子。神经网络的参数都是随机初始化的，
# 不同的初始化参数往往会导致不同的结果，当得到比较好的结果时我们通常希望这个结果是可以复现的，
# 因此，在pytorch中，通过设置随机数种子也可以达到这个目的
seed = 12345
random.seed(seed)
torch.manual_seed(seed)

N = 1000  # 每类样本的数量
D = 2  # 每个样本的特征维度
C = 3  # 样本的类别
H = 100  # 神经网络里隐层单元的数量

之前导论课智能小车的实验并没有按照这样写：

device = torch.device("cuda:0" if torch.cuda.is_available() else "cpu")

结果小车GPU有问题，疯狂报错T^T。

设置种子是对随机化的状态记录，很巧妙。

初始化 X 和 Y。 X 可以理解为特征矩阵，Y可以理解为样本标签。 结合代码可以看到，X的为一个 NxC 行， D 列的矩阵。C 类样本，每类样本是 N个，所以是 N*C 行。每个样本的特征维度是2，所以是 2列。

在 python 中，调用 zeros 类似的函数，第一个参数是 y方向的，即矩阵的行；第二个参数是 x方向的，即矩阵的列，大家得注意下，不要搞反了。下面结合代码看看 3000个样本的特征是如何初始化的。

X = torch.zeros(N * C, D).to(device)
Y = torch.zeros(N * C, dtype=torch.long).to(device)
for c in range(C):
    index = 0
    t = torch.linspace(0, 1, N) # 在[0，1]间均匀的取10000个数，赋给t
    # 下面的代码不用理解太多，总之是根据公式计算出三类样本（可以构成螺旋形）
    # torch.randn(N) 是得到 N 个均值为0，方差为 1 的一组随机数，注意要和 rand 区分开
    inner_var = torch.linspace( (2*math.pi/C)*c, (2*math.pi/C)*(2+c), N) + torch.randn(N) * 0.2
    
    # 每个样本的(x,y)坐标都保存在 X 里
    # Y 里存储的是样本的类别，分别为 [0, 1, 2]
    for ix in range(N * c, N * (c + 1)):
        X[ix] = t[index] * torch.FloatTensor((math.sin(inner_var[index]), math.cos(inner_var[index])))
        Y[ix] = c
        index += 1

print("Shapes:")
print("X:", X.size())
print("Y:", Y.size())
# visualise the data
plot_data(X, Y)

1. 构建线性模型进行分类

learning_rate = 1e-3
lambda_l2 = 1e-5

# nn 包用来创建线性模型
# 每一个线性模型都包含 weight 和 bias
model = nn.Sequential(
    nn.Linear(D, H),
    nn.Linear(H, C)
)
model.to(device) # 把模型放到GPU上

# nn 包含多种不同的损失函数，这里使用的是交叉熵（cross entropy loss）损失函数
criterion = torch.nn.CrossEntropyLoss()

# 这里使用 optim 包进行随机梯度下降(stochastic gradient descent)优化
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=learning_rate, weight_decay=lambda_l2)

# 开始训练
for t in range(1000):
    # 把数据输入模型，得到预测结果
    y_pred = model(X)
    # 计算损失和准确率
    loss = criterion(y_pred, Y)
    score, predicted = torch.max(y_pred, 1)
    acc = (Y == predicted).sum().float() / len(Y)
    print('[EPOCH]: %i, [LOSS]: %.6f, [ACCURACY]: %.3f' % (t, loss.item(), acc))
    display.clear_output(wait=True)

    # 反向传播前把梯度置 0 
    optimizer.zero_grad()
    # 反向传播优化 
    loss.backward()
    # 更新全部参数
    optimizer.step()

这里对上面的一些关键函数进行说明:

使用 print(y_pred.shape) 可以看到模型的预测结果，为[3000, 3]的矩阵。每个样本的预测结果为3个，保存在 y_pred 的一行里。值最大的一个，即为预测该样本属于的类别

score, predicted = torch.max(y_pred, 1) 是沿着第二个方向（即X方向）提取最大值。最大的那个值存在 score 中，所在的位置（即第几列的最大）保存在 predicted 中。下面代码把第10行的情况输出，供解释说明

此外，大家可以看到，每一次反向传播前，都要把梯度清零，参考：https://www.zhihu.com/question/303070254

运行结果：[EPOCH]: 999, [LOSS]: 0.861541, [ACCURACY]: 0.504

print(y_pred.shape)
print(y_pred[10, :])
print(score[10])
print(predicted[10])

# Plot trained model
print(model)
plot_model(X, Y, model)

上面使用 print(model) 把模型输出，可以看到有两层：

• 第一层输入为 2（因为特征维度为主2），输出为 100；
• 第二层输入为 100 （上一层的输出），输出为 3（类别数）

从上面图示可以看出，线性模型的准确率最高只能达到 50% 左右，对于这样复杂的一个数据分布，线性模型难以实现准确分类。

2. 构建两层神经网络分类

learning_rate = 1e-3
lambda_l2 = 1e-5

# 这里可以看到，和上面模型不同的是，在两层之间加入了一个 ReLU 激活函数
model = nn.Sequential(
    nn.Linear(D, H),
    nn.ReLU(),
    nn.Linear(H, C)
)
model.to(device)

# 下面的代码和之前是完全一样的，这里不过多叙述
criterion = torch.nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=learning_rate, weight_decay=lambda_l2) # built-in L2

# 训练模型，和之前的代码是完全一样的
for t in range(1000):
    y_pred = model(X)
    loss = criterion(y_pred, Y)
    score, predicted = torch.max(y_pred, 1)
    acc = ((Y == predicted).sum().float() / len(Y))
    print("[EPOCH]: %i, [LOSS]: %.6f, [ACCURACY]: %.3f" % (t, loss.item(), acc))
    display.clear_output(wait=True)
    
    # zero the gradients before running the backward pass.
    optimizer.zero_grad()
    # Backward pass to compute the gradient
    loss.backward()
    # Update params
    optimizer.step()

输出为：[EPOCH]: 999, [LOSS]: 0.213117, [ACCURACY]: 0.926

# Plot trained model
print(model)
plot_model(X, Y, model)

可以看到分类效果较好，关键在于加入了ReLU激活函数。ReLU函数速度快精度高，逐渐取代了Sigmoid函数。

import random
import torch
from torch import nn, optim
import math
from IPython import display
from plot_lib import plot_data, plot_model, set_default
from matplotlib import pyplot as plt

set_default()

device = torch.device("cuda:0" if torch.cuda.is_available() else "cpu")

seed = 1
random.seed(seed)
torch.manual_seed(seed)
N = 1000 # 每类样本的数量
D = 1 # 每个样本的特征维度
C = 1 # 类别数
H = 100 # 隐层的神经元数量

X = torch.unsqueeze(torch.linspace(-1, 1, 100), dim=1).to(device)
y = X.pow(3) + 0.3 * torch.rand(X.size()).to(device)

print("Shapes:")
print("X:", tuple(X.size()))
print("y:", tuple(y.size()))

在坐标系上显示数据

plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.scatter(X.cpu().numpy(), y.cpu().numpy())
plt.axis('equal');