你不可错过的快速幂算法模板超详细整理

1.介绍

快速幂算法能帮我们算出指数非常大的幂，传统的求幂算法之所以时间复杂度非常高（为O(指数n)），就是因为当指数n非常大的时候，需要执行的循环操作次数也非常大。所以我们快速幂算法的核心思想就是每一步都把指数分成两半，而相应的底数做平方运算。这样不仅能把非常大的指数给不断变小，所需要执行的循环次数也变小，而最后表示的结果却一直不会变。

2.模板

////快速幂算模板
long long fastPower(long base, long long power)
{
	long long result = 1;
	while (power > 0)
	{
		if (power % 2 == 0)//如果指数为偶数
		{
			power = power / 2;  //把指数缩小一半
			base = base * base;  //底数变大为原来的平方
		}
		else  //如果指数为奇数
		{
			power = power - 1;  // 把指数减去1，使其变成一个偶数
			result = result * base; //此时记得要把指数为奇数时分离出来的底数的一次方收集好
			power = power / 2;  //此时指数为偶数，可以继续执行指数减半操作
			base = base * base;  //底数变大为原来的平方
		}
	}
	return result;
}

3.优化

long long fastPower(long long base, long long power) {
    long long result = 1;
    while (power > 0) {
        if (power % 2 == 1) {
            result = result * base ;
        }
        power = power / 2;
        base = base * base;
    }
    return result;
}

4.终极优化

long long fastPower(long long base, long long power)
{
	long long result = 1;
	while (power > 0)
	{
		if (power & 1)  //此处等价于power%2==1 
		{
			result = result * base;
		}
		power >>= 1; //此处等价于power=power/2;  指数减半
		base = base * base;  //底数平方
	}
	return result;
}

5.例题

(1) 题目

求 a 的 b 次方对 p 取模的值。
输入格式
三个整数 a,b,p ,在同一行用空格隔开。
输出格式
输出一个整数，表示a^b mod p的值。
数据范围
0≤a,b,p≤109
数据保证 p≠0
输入样例：
3 2 7
输出样例：
2

(2) 代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long fastPower(long long base, long long power,long long p)
{
	long long result = 1%p;
	while (power > 0)
	{
		if (power & 1)
		{
			result = result * base % p;
		}
		power >>= 1;
		base = base * base % p;
	}
	return result;
}
int main()
{
	int a, b, p;
	cin >> a >> b >> p; 
	cout << fastPower(a, b, p) << endl;
	return 0;
} 

6.快速幂求逆元

1.乘法逆元
乘法逆元的定义
若整数b，m互质，并且对于任意的整数 a，如果满足b|a，则存在一个整数x，使得a/b≡a∗x(mod m)，则称x为b的模m乘法逆元，记为b^−1(mod m)。
b存在乘法逆元的充要条件是b与模数m互质。当模数m为质数时，b^m−2即为b的乘法逆元。
当n为质数时，可以用快速幂求逆元：
a / b ≡ a * x (mod n)
两边同乘b可得 a ≡ a * b * x (mod n)
即 1 ≡ b * x (mod n)
同 b * x ≡ 1 (mod n)
由费马小定理可知，当n为质数时
b ^ (n - 1) ≡ 1 (mod n)
拆一个b出来可得 b * b ^ (n - 2) ≡ 1 (mod n)
故当n为质数时，b的乘法逆元 x = b ^ (n - 2)
当n不是质数时，可以用扩展欧几里得算法求逆元：
a有逆元的充要条件是a与p互质，所以gcd(a, p) = 1
假设a的逆元为x，那么有a * x ≡ 1 (mod p)
等价：ax + py = 1
exgcd(a, p, x, y)
2.题目练习
给定n组ai,pi，其中pi是质数,求ai模pi的乘法逆元，若逆元不存在则输出impossible。
注意：请返回在0∼p−1之间的逆元。
乘法逆元的定义
若整数b，m互质，并且对于任意的整数 a，如果满足b|a，则存在一个整数x，使得a/b≡a∗x(mod m)，则称x为b的模m乘法逆元，记为b^−1(mod m)。
b存在乘法逆元的充要条件是b与模数m互质。当模数m为质数时，b^m−2即为b的乘法逆元。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含一个数组ai,pi，数据保证pi是质数。
输出格式
输出共n行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
若ai模pi的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出impossible。
数据范围
1≤n≤105,
1≤ai,pi≤2∗109
输入样例：
3
4 3
8 5
6 3
输出样例：
1
2
impossible
代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qmi(ll a, ll p, ll mod)
{
	ll ans = 1;
	while (p)
	{
		if (p & 1) ans = ans * a%mod;
		p >>= 1;
		a = a * a%mod;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	while (n--)
	{
		int a, p;
		cin >> a >> p;
		if (a%p) cout << qmi(a, p - 2, p) << endl;   //如果a%p==0，则a^p-2%p==0,a不会有逆元
		else cout << "impossible" << endl;
	}
	return 0; 
}