2020牛客多校Graph(boruvka)(Trie字典树)

Statement

Solution

• 记 $val[i]$为从 $i$到根路径上的边权异或和
• 则若在 $i$和 $j$之间连边
• 要保持环的 $xorsum==0$
• 边权为 $val[i]\,xor\,val[j]$
• 依次类推，得到一张完全图
• 从中抠出一棵 $MST$即可
• 但边数为 $N^2=4e18$，枚举稳T

接下来的做法参考CF原题和Reach-top上的题

• 要让异或和最小，要让二进制高位尽可能相等
• 这样的数据结构就是———— $Trie字典树$
• 连接两个点只需要在以该节点为根的子树中寻找异或起来最小的点对
• 同时为了保证 $xor$值尽可能小，向下考虑走向时尽量方向相同

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int N=1e5+10,M=6e6+10;
using namespace std;
int n,tot,h[N],id,val[N<<1],p[M],d[M],ch[M][2];
ll ans;
struct Edge{int v,w,nxt;}e[N<<1];
void add(int x,int y,int z){e[++tot]={y+1,z,h[x+1]},h[x+1]=tot;}
void insert(int k){
	int x=1;
	for(int i=29;~i;i--){
		bool u=(1<<i)&val[k];
		if(!ch[x][u]) ch[x][u]=++id,d[id]=30-i,p[id]=n+1;
		x=ch[x][u];
	}p[x]=k;
}ll getval(int x,int y){
	if(d[x]==30) return val[p[x]]^val[p[y]];
	ll ret=1ll<<60;
	bool f=0;
	for(int i=0;i<=1;i++)if(ch[x][i]&&ch[y][i]) ret=min(ret,getval(ch[x][i],ch[y][i])),f=1;
	//为了保证xor值尽可能小，向下考虑走向时尽量方向相同
	if(!f){
		if(ch[x][0]&&ch[y][1]) ret=min(ret,getval(ch[x][0],ch[y][1]));
		else if(ch[x][1]&&ch[y][0]) ret=min(ret,getval(ch[x][1],ch[y][0]));
	}return ret;
}void dfs(int x){
	if(!x) return ;
	dfs(ch[x][0]),dfs(ch[x][1]);
	if(ch[x][0]&&ch[x][1]) ans+=getval(ch[x][0],ch[x][1]);
}void calc(int x,int fx){
	for(int i=h[x];i;i=e[i].nxt)
		if(e[i].v!=fx)
			val[e[i].v]=val[x]^e[i].w,calc(e[i].v,x);//val[i]为从i到根路径上的边权异或和
}int main(){
	scanf("%d",&n),p[1]=id=1;
	for(int i=1,x,y,z;i<n;i++) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),add(x,y,z),add(y,x,z);
	val[1]=0,calc(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++) insert(i);
	dfs(1),printf("%lld\n",ans);
}