【$Polya$定理·应用篇】$Polya$定理的几种模型简介

$Preface$

初步了解$Polya$定理之后，余便开始研究它的应用。

根据论文里的记载，整理了一下其中的例题。

似乎都是一些远古题库，其中SGU这个题库余竟未曾听说过，而且也找不到（好像已经炸了）。

前置知识

【$Polya$定理·入门篇】浅尝辄止的$Polya$定理

例一：【SGU294 】He's Circles

标签：环 莫比乌斯反演

给定一个长度为$n$的环。
对它进行黑白染色，问有多少种本质不同的方案。
可以旋转得到视为本质相同。
$n\le 2\times 10^5$

环上$Polya$定理的板子题。

考虑转$i$位置换中环的个数就是$gcd(i,n)$，因此答案式为：

\[\frac1{|G|}\sum_{i=1}^sm^{c(g_i)}=\frac1n\sum_{i=1}^n2^{gcd(i,n)} \]

看到$gcd$自然而然想到莫比乌斯反演。

因为莫比乌斯反演并非本文的重点，下面的式子可能会比较简略。

枚举$gcd$得到：

\[\frac1n\sum_{d|n}2^d\sum_{i=1}^{\frac nd}[gcd(i,\frac nd)=1] \]

容易发现后面就是一个$\phi$的形式，得到：

\[\frac1n\sum_{d|n}2^d\phi(\frac nd) \]

这道题应该是$Polya$定理最基础的应用题了。

例二：【UVA10601】Cubes

标签：立方体 组合数学

给定$12$根木棒，每根木棒有一种颜色，且颜色总数不超过$6$。
用这些木棒拼成一个立方体，问有多少种本质不同的方案。
可以旋转得到视为本质相同。
数据组数$\le60$。

余的做法

余一开始的想法，就是立方体旋来旋去太麻烦了，不如直接考虑最终结果。

假设$1$号点与$2$号点相连，只要枚举$1$号点的位置（$8$种），再枚举$2$号点与$1$号点的相对位置（$3$种），就能够确定旋转后的立方体了（$8\times 3=24$种）。

讲道理这个做法应该是正确的，然而这东西并不太好实现，一开始想手打一个表，最后嫌过于繁琐放弃了。

~~默默点开了题解。。。~~

题解的做法

考虑立方体的$4$种旋转方式：（本题重点！！！）

不动。$1$种方案，每个等价类大小为$1$。
绕一组相对顶点旋转。$4$对顶点，每对$2$种方案，每个等价类大小为$3$（同色标出）。

绕一组相对的棱转动。$6$对棱，每对仅$1$种方案，$2$个等价类大小为$1$，$5$个等价类大小为$2$。

平行转动。$3$个方向，旋转$90°$或$270°$时每个等价类大小为$4$（如图），旋转$180°$时每个等价类大小为$2$（不想画了）。

考虑这题中每种颜色的数量是定死的，因此无法直接套用$Polya$定理，而应该使用$Burnside$引理。

发现除绕一组相对的棱转动的情况以外，其余情况每个等价类大小都是相等的。

而棱的情况其实可以直接暴枚两个大小为$1$的等价类中的元素，则剩下的等价类大小也是相等的。

此时要计算方案数，假设等价类大小都为$x$，如果某个$c_i$（颜色$i$的个数）不是$x$的倍数，显然方案数为$0$。

否则，令所有$c_i$除以$x$，设其总和为$t$，方案数就是可重全排列$\frac{t!}{\prod c_i!}$。

例三：【SPOJ419/SPOJ422】Transportation is (Even More) Fun

标签：环 巧妙转化 莫比乌斯反演

给定一个$2^a\times 2^b$的矩阵，要求把它变成它的转置矩阵，但保持矩阵形状不变。
每次操作只能交换两个元素，问至少操作几次。
询问组数$\le100$/询问组数$\le4\times 10^5$，$a+b\le10^6$。

什么？说好的$Polya$定理呢？为何画风突变？

把一个位置到它对应位置的转变表示成置换，然后就会发现，设这个置换有$t$个循环，则答案就是$2^{a+b}-t$。

这应该非常显然，因为一个大小为$n$的循环只需操作$n-1$次。

其实呢，若把原序列中的$(i,j)$表示成$i\times 2^b+j$，而它在转置矩阵中对应的位置就是$j\times 2^b+i$。

如果把$i\times 2^b+j$这个二进制数看成一个环，那么从$i\times 2^b+j$到$j\times 2^b+i$其实就是向右转了$b$位。

于是经转化得到了一个新问题：

给定一个长度为$n$的环。
对它进行黑白染色，问有多少种本质不同的方案。
可经每次旋转$b$位得到视为本质相同。

好嘞，这家伙与$Polya$定理板子的区别仅仅在于每次旋转$b$位。

一个显然的事实，旋转$b$位的等价类个数就是$g=gcd(b,a+b)=gcd(a,b)$，且每个等价类大小都为$\frac{a+b}g$。

于是可以把一个循环看成一个点，点数就是$n=\frac{a+b}g$，颜色数目就是$2^g$。

得到式子：（推导过程可参考例一）

\[\frac1n\sum_{d|n}(2^g)^d\times \phi(\frac nd) \]

当然别忘了最终答案是$2^{a+b}$减去它。

例四：【SGU282】Isomorphism

标签：无向图 除去冗余

给定一个$n$个点的无向完全图。
把每条边染成$m$种颜色的一种，问有多少种本质不同的方案。
可以改变节点编号得到视为本质相同。
$n\le 53,m\le1000$

本题中置换群的对象就是这$\frac{n(n-1)}2$条边，但由于置换的数量达到$n!$，显然不可以裸暴力。

假设点的置换是$i\rightarrow P_i$，则边的置换就是$(i,j)\rightarrow(P_i,P_j)$。

考虑两种置换循环节个数的关系，发现：

若点$i,j$属于同一长度为$x$的循环中，$(i,j)$组成的置换中循环节个数为$\lfloor\frac x2\rfloor$。
若点$i,j$分别属于长度为$x,y$的两个循环中，$(i,j)$组成的置换中循环节个数为$gcd(x,y)$。

因此，如果一个点置换长度分别为$L_1,L_2,...,L_s$，则边置换的循环节总长度就是：

\[T=\sum_{i=1}^s\lfloor\frac{L_i}2\rfloor+\sum_{i=1}^{s-1}\sum_{j=i+1}^sgcd(L_i,L_j) \]

那么就需要求满足循环节长度为$L_1,L_2,...,L_s$的边置换数目，也就是把$1\sim n$放入大小分别为$L_1,L_2,...,L_s$的环的方案数。

如果$L$互不相同，方案数就是：

\[\frac{n!}{\prod_{i=1}^sL_i} \]

而若可能有相同的$L$，同样大小的环就会造成重复贡献。

因此假设有$t$种不同的值，并设$C_i$表示第$i$种值的个数，方案数就是：

\[S=\frac{n!}{\prod_{i=1}^sL_i\prod_{i=1}^tC_i!} \]

最终答案就是：（$T,S$的值如上所示，注意这其实是一个$Polya$定理的形式，只是在$m^{c(g_i)}$之前乘上了一个方案数）

\[\frac1{n!}\sum S\times m^T \]

这道题的核心思想就是把相似的情况放在一起讨论，除去冗余的方法在$Polya$计数问题中是一个很有用的优化。

参考文献

2008 - 陈瑜希《Pólya计数法的应用》

$Postscript$

以上就是对$Polya$定理几种常见模型（环、立方体、无向图）以及优化技巧（莫比乌斯反演、除去冗余）的介绍了。

余希望自己的努力能让更多人认识到$Polya$定理这个美丽的算法。