LCP 13. 寻宝
题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/xun-bao
题目
我们得到了一副藏宝图，藏宝图显示，在一个迷宫中存在着未被世人发现的宝藏。
迷宫是一个二维矩阵，用一个字符串数组表示。它标识了唯一的入口（用 'S' 表示），和唯一的宝藏地点（用 'T' 表示）。但是，宝藏被一些隐蔽的机关保护了起来。在地图上有若干个机关点（用 'M' 表示），只有所有机关均被触发，才可以拿到宝藏。
要保持机关的触发，需要把一个重石放在上面。迷宫中有若干个石堆（用 'O' 表示），每个石堆都有无限个足够触发机关的重石。但是由于石头太重，我们一次只能搬一个石头到指定地点。
迷宫中同样有一些墙壁（用 '#' 表示），我们不能走入墙壁。剩余的都是可随意通行的点（用 '.' 表示）。石堆、机关、起点和终点（无论是否能拿到宝藏）也是可以通行的。
我们每步可以选择向上/向下/向左/向右移动一格，并且不能移出迷宫。搬起石头和放下石头不算步数。那么，从起点开始，我们最少需要多少步才能最后拿到宝藏呢？如果无法拿到宝藏，返回 -1 。
示例 1：
输入： ["S#O", "M..", "M.T"]
输出：16
解释： 最优路线为： S->O, cost = 4, 去搬石头 O->第二行的M, cost = 3, M机关触发 第二行的M->O, cost = 3, 我们需要继续回去 O 搬石头。 O->第三行的M, cost = 4, 此时所有机关均触发 第三行的M->T, cost = 2，去T点拿宝藏。 总步数为16。
示例 2：
输入： ["S#O", "M.#", "M.T"]
输出：-1
解释：我们无法搬到石头触发机关
示例 3：
输入： ["S#O", "M.T", "M.."]
输出：17
解释：注意终点也是可以通行的。
限制：
- 1 <= maze.length <= 100
- 1 <= maze[i].length <= 100
- maze[i].length == maze[j].length
- S 和 T 有且只有一个
- 0 <= M的数量 <= 16
- 0 <= O的数量 <= 40，题目保证当迷宫中存在 M 时，一定存在至少一个 O 。
解题思路
思路：状态压缩动态规划
先大致说下题意，题目中要求我们在迷宫中，从起点 S 走到终点 T。但是，迷宫中有一些规则以及限制：
- '#'：表示墙壁，
- '.'：表示可通行
- 'M'：表示机关点，需要重石触发
- 'O'：表示石堆，一次移动只能搬动一个石头。石堆中的重石无限。
其中，要到达终点 T 需要将所有机关点 M 都被触发，求最少步数到达终点。
题目中说明，人物可进行四个方位的移动。根据上面的题意简介，那么可能出现的情况如下（字符含义见上）：
- 从起点 S 到达 O 因为无法直接从 S 到 M 因为触发机关 M 需要重石；
- 从 O 到 M 搬重石触发机关
- 从 M 再到 O 继续搬重石（假设后面还有机关）
- 从 M 到终点 T 当所有机关都触发，可以到终点。
题目要我们求最少步数到达终点，也就是说，我们可以考虑将上面可能出现的情况，将两个点之间的最短距离计算出来用以后续计算。
在这里，首先要先解决的是采取怎样的路线去取重石和触发机关。这里先进行大致的分析：
先看上面罗列的可能情况，开始一定是从 S 出发，经过某个 O，取得重石，然后到达某个 M，触发机关。在这里，对于某个特定的 M 来说，一定存在某个 O，使得 S 经过 O 到达 M 的距离最短。也就说，固定 M，枚举 O，就可以求得 S 到达每个 M 的最短距离。
机关点 M，有可能存在不止一个。那么到达某个 M 之后，还需要再次去某个 O 点取得重石再去其他 M 点触发机关，直至所有机关都被触发。在这里，假设先到达 M1，要取重石触发机关 M2，那么同样，可以枚举 O，求得 M1 到达 M2 的最短距离。
当所有的机关都触发了，那么剩下的就是从 M 到达 T 的距离，这样同样可以计算出来。
上面是大致的分析，计算逐个情况下的最短距离，进而求得整体的最短距离。但是这里有个需要注意的地方，因为需要所有的机关点 M 都被触发，那么触发 M 的顺序不同时，那么将会导致结果不同。
根据前面的分析，在给定的迷宫 maze 中，无论是否触发机关，每个位置到其他任意位置的距离是不会改变的。那么用 BFS 的思路计算点到点之间的距离。
定义二维数组，保存机关 Mi 到 Mj 的最短距离，这里枚举所有的石头堆 O 进行计算。
定义 dp，利用二进制形式的 mask 表示状态，dp[mask][i] 表示当前处于第 i 个 M 的位置，当前的状态为 mask 的最短距离。机关的状态有两种：已触发和未触发。
当所有的机关都触发，那么从最后被触发的机关点出发，前往终点，比较得出最短距离。
具体实现代码如下（含注释）。
代码实现
from typing import List
class Solution:
def minimalSteps(self, maze: List[str]) -> int:
# 四个方位
directions = [(-1, 0), (0, 1), (1, 0), (0, -1)]
m = len(maze)
n = len(maze[0])
# 起点，终点
start_x, start_y, end_x, end_y = -1, -1, -1, -1
# 机关，石堆
buttons = []
stones = []
# 先将迷宫中字符所代表的意义进行标记
for i in range(m):
for j in range(n):
if maze[i][j] == 'M':
buttons.append((i, j))
elif maze[i][j] == 'O':
stones.append((i, j))
elif maze[i][j] == 'S':
start_x = i
start_y = j
elif maze[i][j] == 'T':
end_x = i
end_y = j
# 机关以及石堆数
num_b = len(buttons)
num_s = len(stones)
# 计算出发点到其他所有位置的距离
start_to_any_pos = self.bfs(start_x, start_y, maze, m, n, directions)
# 如果没有石堆，那么就是直接找出出发点到终点的最短距离
if num_b == 0:
return start_to_any_pos[end_x][end_y]
# 定义数组，记录其中一个机关到另外一个机关以及到起点，终点的距离
# dist[i][num_b] 表示到起点的距离，dist[i][num_b+1] 表示到终点的距离
dist = [[-1] * (num_b + 2) for _ in range(num_b)]
# 迷宫中，机关 M 可能有多个。先计算触发机关后，每个 M 到达终点的距离
# im 记录机关到其他点的距离
button_to_any_pos = []
for i in range(num_b):
b_x, b_y = buttons[i]
# 计算第 i 个机关 M 到其他点的距离，存入 button_to_any_pos 中
button_to_any_pos.append(self.bfs(b_x, b_y, maze, m, n, directions))
# 机关到终点的距离
dist[i][num_b+1] = button_to_any_pos[i][end_x][end_y]
# 计算出发点到每个机关的距离
for i in range(num_b):
# S 到 M 的距离
start_to_m = -1
for j in range(num_s):
s_x, s_y = stones[j]
# 固定某个机关，计算出发点 S 经过每个石堆到达机关的距离
# 也可以理解为机关到起始点 S 的距离，由变量 button_to_any_pos 存储
if button_to_any_pos[i][s_x][s_y] != -1 and start_to_any_pos[s_x][s_y] != -1:
# 计算距离，比较取小值
tmp = button_to_any_pos[i][s_x][s_y] + start_to_any_pos[s_x][s_y]
if start_to_m == -1 or start_to_m > tmp:
start_to_m = tmp
# 将此时 S 到 M 的最短距离存入 dist 数组中
dist[i][num_b] = start_to_m
# 这里计算第 i 个机关到第 j 个机关的距离
# 例如：M1 经过 O 到达 M2的最短距离
for j in range(i+1, num_b):
m_to_another_m = -1
for k in range(num_s):
s_x, s_y = stones[k]
if button_to_any_pos[i][s_x][s_y] != -1 and button_to_any_pos[j][s_x][s_y] != -1:
tmp = button_to_any_pos[i][s_x][s_y] + button_to_any_pos[j][s_x][s_y]
if m_to_another_m == -1 or m_to_another_m > tmp:
m_to_another_m = tmp
# 因为距离是无向图，那么两点之间的距离是对称的
dist[i][j] = m_to_another_m
dist[j][i] = m_to_another_m
# 如果一个机关，从出发点无法到达，或者从机关点出发无法到终点，说明无路径，返回 -1
for i in range(num_b):
if dist[i][num_b] == -1 or dist[i][num_b+1] == -1:
return -1
# 定义 dp 数组，-1 表示为被遍历的状态
# 假设有 n 个 M，机关的状态有 2^n 个状态
# dp[mask][i] 表示当前处于第 i 个 M 的位置，当前的状态为 mask 的最短距离
dp = [[-1] * num_b for _ in range(1<<num_b)]
# 用二进制的形式表示 mask
# 初始化，从 S 到第 i 个机关，此时 mask 的第 i 位为 1，其他为 0
# 将前面计算的值赋值给 dp 数组
for i in range(num_b):
dp[1<<i][i]=dist[i][num_b]
# 开始遍历，计算 mask 不同状态，每个机关点 i 的值
# mask 索引从 1 开始
for mask in range(1, (1<<num_b)):
for i in range(num_b):
# 如果当前 dp 合法
if mask & (1<<i) != 0:
for j in range(num_b):
# 选择下一个机关 j，要 j 还未触发，此时 mask 的 j 位置应该为 0
if mask & (1<<j) == 0:
next_mask = mask | (1<<j)
tmp = dp[mask][i] + dist[i][j]
if dp[next_mask][j] == -1 or dp[next_mask][j] > tmp:
dp[next_mask][j] = tmp
# 这里计算全部触发后，最后一个机关到达终点的距离，取小值
ans = -1
final_mask = (1<<num_b) - 1
for i in range(num_b):
tmp = dp[final_mask][i] + dist[i][num_b+1]
if ans == -1 or ans > tmp:
ans = tmp
return ans
def bfs(self, x, y, maze, m, n, directions):
"""计算点(x, y) 到其他点之间的距离
"""
res = [[-1] * n for _ in range(m)]
# 设点 (x, y) 为起点
res[x][y] = 0
from collections import deque
queue = deque()
queue.append([x, y])
while queue:
# 出队，计算点到点之间的距离
cur_x, cur_y = queue.popleft()
# 限制边界，往四个方位移动，遇到可通行且未被访问，则进行移动，记录距离
for dx, dy in directions:
nx = cur_x + dx
ny = cur_y + dy
if 0 <= nx < m and 0 <= ny < n and maze[nx][ny] != '#' and res[nx][ny] == -1:
res[nx][ny] = res[cur_x][cur_y] + 1
queue.append([nx, ny])
return res
maze = ["S#O", "M..", "M.T"]
solution = Solution()
solution.minimalSteps(maze)
实现结果
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