hdu1024 （滚动数组和动态更新优化）

题意： 给定长度为 $n$的序列 $a$，从中选取 $m$个子段，求子段和的最大值。
题解：
$f[i][j]$表示将前 $j$个元素分成 $i$段可以获得的最大 $i$段和，其中这里必然包括第 $j$个元素。
状态转移为 $f[i][j]=max(f[i][j-1]+a[j],f[i-1][k]+a[j]),k\in[i-1,j-1]$

• $f[i][j-1]+a[j]$表示第 $j$个元素划分到第 $i$段，并将前 $j-1$个元素分成 $i$段的最大和
• $f[i-1][k]+a[j],k\in[i-1,j-1]$，表示将第 $j$个元素划分到第 $i-1$段，且将前 $k$个元素划分成 $i-1$段可以获得的最大和。

这里的时间复杂度和空间复杂度必然爆炸，考虑优化。

• 首先， $f[i][j]$只和前一个状态 $i-1$有关，故可以用滚动数组优化。
• 其次，枚举 $k$是 $O(n)$的时间复杂度，考虑动态更新 $f[i-1][k]$的最大值，这里每一层的 $f[i-1][k]$也只对下一层有影响，故也可以滚动数组优化。
• 所以这里记： $f[j]$表示前 $j$个元素（必然包括 $s[j]$），构成最多 $j$个子段可以得到的最大和， $pre[i]$表示前 $i$个元素中可以得到的最大和。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;
int m, n;
int s[N];
int pre[N], f[N];

int main()
{
	while(~scanf("%d%d", &m, &n)) {
		for(int i = 1; i <= n; i++) pre[i] = 0, f[i] = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &s[i]);
		
		int temp = 0;
		for(int i = 1; i <= m; i++) {
			temp = -0x7fffffff; //temp动态更新前j-1元素分成i-1段的最大值 
			for(int j = i; j <= n; j++) {
				f[j] = max(f[j - 1], pre[j - 1]) + s[j]; //f[j-1]表示将j划到i段，pre[j-1]表示将j划到i-1段 
				pre[j - 1] = temp; //更新为第i+1层，这里的temp是j-1时的 
				temp = max(temp, f[j]);
			}
		}
		//由于f[n]表示必然选第n个元素，但实际答案未必。 
		printf("%d\n", temp);
	}
}

注意： 为了保证分成 $i$个子段至少要有 $i$个元素，枚举元素数要从子段数开始。