数学建模--灰色预测

写在前面：
内容出自课程《数学建模学习交流》，主讲人：清风

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灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预
测，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
灰色预测对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，并
生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从
而预测事物未来发展趋势的状况。

GM(1,1)

原理

设 $x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(n))$是最初的非负数据列，对其进行一次累加得到新的生成数据列 $x^{(1)}$:
$x^{(1)}=(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),...,x^{(1)}(n))$
其中， $x^{\left( 1 \right)}\left( m \right) =\sum_{i=1}^m{x^{\left( 0 \right)}\left( i \right) ,m=1,2,...,n}$，
令 $z^{(1)}$为数列 $x^{(1)}$的紧邻均值生成数列，即 $z^{(1)}=(z^{(1)}(2),z^{(1)}(3),...,z^{(1)}(n))$，其中 $z^{(1)}(m)=\delta x^{(1)}m+(1-\delta)x^{(1)}(m-1), m=2,3,...,n且\delta=0.5$

称 $x^{(0)}(k)+az^{(1)}(k)=b$为 $GM(1,1)$模型的基本形式 $(k=2,3,...,n)$，其中， $b$表示灰作用量， $-a$表示发展系数。
$==>$
$x^{(0)}(k)=-az^{(1)}(k)+b$
$==>$
$y=kx+b$
通常情况下，若 $|a|>2$，则模型贴合度极差，建议更换预测方式；其余情况越小越好。



还可以对进行修正：
$\hat{x}_{1}(k+1)=\left\{\begin{array}{c} \left(x_{0}(1)-\frac{b}{a}\right) e^{-a k}+\frac{b}{a} \\ \left(x_{0}(1)-\frac{b}{a}\right) e^{-a k}+\frac{b}{a} \pm a_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\left(k_{0}\right)-\frac{b_{\varepsilon}}{a_{\varepsilon}}\right) e^{-a\left(k-k_{0}\right)} \end{array}\right.$

检验

拓展

GM(1,1)一般只适用于单调指数增长序列，若数据呈现饱和的S型，可以考虑下面几个模型：
Verhulst模型
Verhulst模型的灰微分方程在GM(1,1)的基础上做出了更改：
$x^{(0)}(k)=-az^{(1)}(k)+b(z_1)^2$
预测方程：
$\hat{x}_{1}(k+1)=\frac{a x_{1}(0)}{b x_{1}(0)+\left(a-b x_{1}(0)\right) e^{a k}}$
GM(2,1)模型