量子计算入门学习笔记（六 量子测量-上 ）

经过了万恶的期末考试 之后，我们再次重新踏上量子学习的不归路（手动狗头）！
如果您是第一次观看我的博客，如果您也是和我一样刚入门量子力学或是量子计算相关的学习，纠结于量子计算的抽象与晦涩难懂，那么本专栏（量子计算）一定是您的不二之选，学海本就苦，愿你有甜心，如果觉得博主写的有错误的直接在评论区留言，博主也是大一的一名程序狗，希望大家多多支持，点点赞，另外，本专题是每周一更或二更，有需要的小伙伴可以点点专注！

一. 定义与实例

还记得我们一开始学习量子的时候，每个人都听说或者学习过薛定谔的猫，这个例子的引用虽然让我们能从宏观世界的角度高屋建瓴般的理解了量子的初步概念，但是也为我们的眼前蒙上了一层又一层的朦胧迷雾！我们在知道了这个式子 $|\varphi\rangle=\alpha|L\rangle+\beta|D\rangle$之后，又被强制的记住 $|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1$,且这里的 $|\alpha|^{2}$与 $|\beta|^{2}$ 就分别是猫咪生与死的概率，现在我们虽然知道这二者之和为1 与内积相关，但到底为何能用他们代表概率至今也为给出彻底的定量解释，现在，我们可以真正的认识到这个可怜的小猫咪背后的生杀予夺大权由谁操纵！

定义： 对于一个由状态 $|\varphi\rangle$ 描述的量子系统, 可以由一组测量算符 $\left \{ M_{m}\right \}$ 描述，这些算符作用在被测量系统的态空间上, 可能的测量结果 m 发生的可能性为：
$p(m)=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{m}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{m}\right| \psi\right\rangle$
这里，测量的本质还是与内积相关，返回的也是它的概率数值，我们用算子测量去测量 $|\varphi\rangle$，由于内积，左右两边分别为左矢和右矢，所以用一下这个共轭转置矩阵（厄米算子），由于年代久远，我还是在这里为大家举个例子复习一下（其实我自己也忘了）。

共轭转置就是先取共轭，再取转置：
$若\begin{array}{c} A=\left(\begin{array}{cc} 1+i & i \\ 2-i & 3 \end{array}\right) ， 则 A^{\dagger} =\left(\begin{array}{cc} 1-i & 2+i \\ -i & 3 \end{array}\right) \end{array}$
测量之后的系统状态为:
$p(m)=\frac{\boldsymbol{M}_{m}|\psi\rangle}{\sqrt{\left\langle\psi\left| \boldsymbol{M}_{m}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{m}\right| \psi\right\rangle}}$
且满足上述二式的条件：测量算符需要满足完备性方程：
$\sum \boldsymbol{M}_{m}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{m}=I$
且所有的概率之和为1：
$\sum_{m} p(m)=\sum_{m}\left\langle\psi\left|M_{m}^{\dagger} M_{m}\right| \psi\right\rangle=1$

莫急！待我举两个例子！

例 1： 用 $\left \{|0\rangle，|1\rangle\right \}$ 来测量量子态 $|\varphi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$

解： 这里的两个测量算子分别为： $\boldsymbol{M}_{0}=|0\rangle \langle 0|= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right],\boldsymbol{M}_{1}=|1\rangle \langle 1|= \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$,

所以易得 $\boldsymbol{M}_{0}^{2}=\boldsymbol{M}_{0}, \boldsymbol{M}_{1}^{2}=\boldsymbol{M}_{1}$，且 $I=\boldsymbol{M}_{0}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{0}+\boldsymbol{M}_{1}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{1}=\boldsymbol{M}_{0}+\boldsymbol{M}_{1}$ （ $I$单位矩阵）

这几步我认为屏幕前聪明睿智的小伙伴们目测就可以验证~~

以此，有 $p(0)=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{0}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{0}\right| \psi\right\rangle=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{0}\right| \psi\right\rangle=\left [ \alpha ，\beta \right ] \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right]=|\alpha|^{2}$.

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同理， $p(1) = |\beta |^{2}$.所以测得 $|0\rangle$ 的概率为 $|\alpha|^{2}$, 以 $|\beta |^{2}$的概率测得 $|1\rangle$，更进一步，测量后二者的状态为:
$\frac{M_{0}|\psi\rangle}{\left | \alpha\right |} = \frac{\alpha }{\left|\alpha\right|}|0\rangle\\ \frac{M_{1}|\psi\rangle}{\left | \beta\right |} = \frac{\beta}{\left|\beta\right|}|1\rangle$

这个例子可以说让我们真正的量化了解薛定谔的猫的幕后黑手是谁了！
我们再来看看用多量子比特序列来测量会有什么结果！

例2： 量子比特对可以表示为 ： $|\varphi\rangle=\alpha_{00}|00\rangle+\alpha_{01}|01\rangle+\alpha_{10}|10\rangle+\alpha_{11}|11\rangle$ ，通过测 定取经典比特各种列值的概率！

解： 其实我们这里应该都知道了它的概率就每一项对应系数的平方！
$\boldsymbol{M}_{00}=|00\rangle \langle 00|= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right],\boldsymbol{M}_{01}=|01\rangle \langle 01|= \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \\ \boldsymbol{M}_{10}=|10\rangle \langle 10|= \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right],\boldsymbol{M}_{11}=|11\rangle \langle 11|= \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
又因为 $\boldsymbol{M}_{00}^{2}=\boldsymbol{M}_{00}, \boldsymbol{M}_{01}^{2}=\boldsymbol{M}_{01}, \boldsymbol{M}_{10}^{2}=\boldsymbol{M}_{10}, \boldsymbol{M}_{11}^{2}=\boldsymbol{M}_{11}$

$I=\boldsymbol{M}_{00}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{00}+\boldsymbol{M}_{01}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{01}+\boldsymbol{M}_{10}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{10}+\boldsymbol{M}_{11}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{11}=\boldsymbol{M}_{00}+\boldsymbol{M}_{01}+\boldsymbol{M}_{10}+\boldsymbol{M}_{11}$
所以：
$p(00)=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{00}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{00}\right| \psi\right\rangle=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{00}\right| \psi\right\rangle=\left|\alpha_{00}\right|^{2}$
$p(01)=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{01}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{01}\right| \psi\right\rangle=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{01}\right| \psi\right\rangle=\left|\alpha_{01}\right|^{2}$
$p(10)=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{10}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{10}\right| \psi\right\rangle=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{10}\right| \psi\right\rangle=\left|\alpha_{10}\right|^{2}$
$p(11)=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{11}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{11}\right| \psi\right\rangle=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{11}\right| \psi\right\rangle=\left|\alpha_{11}\right|^{2}$

偷偷告诉你一个小秘密，不动手算 毛用都没有！

二. 量子状态的区分

量子状态的区分并不像我们抛硬币区分正反面一样简单，它有一些复杂，当然也要用到我们上面说的用公式去计算概率，在真是说明这个东西之前，我们来看看什么是 “测量公设” ：

测量公设是一个基本假设 。测量系统和被测系统可以看做一个更大的封闭的量子系统组成部分。而孤立的量子系统可以用幺正变换描述其演化过程。从态的演化公设能否直接推出测量公设,仍未定论。我们要做的是将其作为出发点,应用这一假设,而不必过多究其由来。

前面我们说满足测量条件的前提就是状态集 $|\psi_{i}\rangle$ 必须是正交的，下面我以Alice 和 Bob 两个人来为大家详细的解释一下：

首先，Alice 肯定要去从两个人都知道的矢量集中选取其中的一个矢量状态 $|\psi_{i}\rangle\left ( 1\leqslant I \leqslant n \right )$，然后Bob 的任务就是找到Alice交给他的这个矢量态对应的 $i$。

（1） 如果状态集是正交的。我们用前面的测量方法，Bob可以 定义几个满足完备关系的测量算子 ， $\boldsymbol{M}_{i}=|\psi_{i}\rangle \langle \psi_{i}|$ 等等，对于 $|\psi_{i}\rangle$ ,如果算得 $p(i)=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{i}\right| \psi\right\rangle = 1$ ,那么就算是测出来这个 $i$ 了! 故可以较为可靠的区分！

（2） 如果状态集不是正交的。对于两个非正交状态的 $|\psi_{1}\rangle$ 和 $|\psi_{2}\rangle$, Bob不能区分的关键原因是 $|\psi_{2}\rangle$矢量可以分解出一个平行于 $|\psi_{1}\rangle$ 的非零分量和一个垂直于 $|\psi_{1}\rangle$的分量，在我们用某些方法测量的时候，分量的作用会多多少少改变我们的概率值，所以得不到我们真正想要的概率值从而是Bob很有可能做出误判！

(接下来给出理性的证明！ )

我们使用反证法，假设非正交的状态 $|\psi_{1}\rangle$ 与 $|\psi_{2}\rangle$也可以进行测量！即 $\left \langle \psi_{1}|\psi_{2} \right \rangle \neq 0$ ,假设存在算符 $\boldsymbol{E_{1}},\boldsymbol{E_{2}}$,可以精确的区分 $|\psi_{1}\rangle，|\psi_{2}\rangle$，，其中 $\boldsymbol{E_{1}}=\boldsymbol{M}_{1}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{1}, \boldsymbol{E_{2}}=\boldsymbol{M}_{2}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{2}$，则根据公式我们可得：
$\left\langle\psi_{1}\left|\boldsymbol{E}_{1}\right| \psi_{1}\right\rangle=1,\left\langle\psi_{2}\left|\boldsymbol{E}_{2}\right| \psi_{2}\right\rangle=1$
但是归一化条件又说了： $\sum_{i} p(i)=\sum_{i}\left\langle\psi_{1}\left|E_{i}\right| \psi_{1}\right\rangle=1$

显然，得到 $\left\langle\psi_{1}\left|E_{2}\right| \psi_{1}\right\rangle = 0$,拆开就是 $\sqrt{\boldsymbol{E}_{2}}|\psi_{1}\rangle =0$，又因为 $|\psi_{1}\rangle$与 $|\psi_{2}\rangle$非正交，可以分解： $\left|\psi_{1}\right\rangle=\alpha\left|\psi_{2}\right\rangle+\beta\left|\psi_{2}^{\perp}\right\rangle$，联立粉色 的式子可得：
$\sqrt{\boldsymbol{E}_{2}}\left|\psi_{1}\right\rangle=\beta \sqrt{\boldsymbol{E}_{2}}\left|\psi_{2}^{\perp}\right\rangle$
再将拆开的式子重写成内积的形式，又因为 $\alpha , \beta$都小于 1：

$\left\langle\psi_{1}\left|\boldsymbol{E}_{2}\right| \psi_{1}\right\rangle=\beta^{2}\left\langle\psi_{2}^{\perp}\left|\boldsymbol{E}_{2}\right| \psi_{2}^{\perp}\right\rangle \leq \beta^{2} \sum_{i}\left\langle\psi_{2}^{\perp}\left|\boldsymbol{E}_{i}\right| \psi_{2}^{\perp}\right\rangle=\beta^{2}<1$
显然，这与我们前面的假设是矛盾的，证毕！

所以，非正交态不可严格区分！

本期的量子计算学习就到这里了，大家可以动手算一下，本人亲测，会有一些小疑惑等着你去思考，下期我们将学习密度算符及其相关内容！