基于热传导方程的高温作业专用服装设计（二）
上一篇链接第一题
链接: link.
六、问题二的模型建立与求解
6.1“最优”标准的选择
（1）成本：专用服装制作成本与织物材料的厚度成正比，因此在满足问题二的条件下，II介质的厚度越小，其成本越低。
（2）舒适度：在其他三层介质厚度确认的情况下，II介质厚度越小，服装总体厚度就越小，穿着越舒适。
6.2约束条件
■确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC
外界温度始终大于皮肤层温度，在这个热传导过程中，皮肤层温度随时间升高，因此只要保证最大工作时间t=3600s时，皮肤层温度不超过47°C，即：
■假人皮肤外侧温度超过44ºC的时间不超过5分钟
皮肤层温度的变化趋势是随时间一直增长，直至达到稳定状态。由于限定工作总时长为60分钟，为保证温度超过44C的时间不超过5分钟的约束条件，只要保证临界状态55分钟即t=3300s时，皮肤层温度不超过44°C，即：
6.3 II介质厚度最优化模型的建立
由问题一建立的热传导方程模型，根据约束条件，建立II介质最优厚度的单目标优化模型。
给出最优化模型如下：
6.4 II介质厚度最优化模型求解
采用枚举法对L_2进行确定，借助matlab遍历搜搜索，寻找最优解，枚举法的算法流程图如图5.2.4所示。
6.5模型的灵敏度分析
改变边界条件，设置步长为0.5，在[65,69)区间内计算最优厚度。由图7.5所示，可以发现，最优厚度随着边界温度的增高而增高，且近似为直线，可以说明最优厚度的灵敏度。
附录
Matlab-2018b
excel
python
问题二程序
clear;%清除工作区变量
clc;%清屏
close all;%关闭所有图形窗口
%% 材料参数输入
m1=6;m2=60;m3=36;m4=50;%分别对四种介质分割
m=m1+m2+m3+m4;%介质分割和
n=3600;%对时间分割
t=3600;%总时长
h=8.6125;%空气交换系数
l1=0.6/1000;l3=3.6/1000;l4=5.5/1000;%材料厚度
lam_1=0.082;lam_2=0.37;lam_3=0.045;lam_4=0.028;%四种材料的热传导率
de_1=300;de_2=862;de_3=74.2;de_4=1.18;%四种材料的密度
c1=1377;c2=2100;c3=1726;c4=1005;%四种材料的比热容
%% 计算热扩散率
a1=lam_1/(c1*de_1);%I层材料的热扩散率
a2=lam_2/(c2*de_2);%II层材料的热扩散率
a3=lam_3/(c3*de_3);%III层材料的热扩散率
a4=lam_4/(c4*de_4);%IV层材料的热扩散率
optimum=[];%c存储满足条件的l2长度
for l2=(0.6:0.1:25)/1000
%% 材料长度分割和时间步长分割求解
derta_x1=l1/m1;%I层材料的分割长度
derta_x2=l2/m2;%II层材料的分割长度
derta_x3=l3/m3;%III层材料的分割长度
derta_x4=l4/m4;%IV层材料的分割长度
derta_t=t/n;%时间步长分割
%% 计算各层介质剖分的步长比
r1=derta_t/derta_x1^2*a1;%第I层介质剖分的步长比
r2=derta_t/derta_x2^2*a2;%第II层介质剖分的步长比
r3=derta_t/derta_x3^2*a3;%第III层介质剖分的步长比
r4=derta_t/derta_x4^2*a4;%第IV层介质剖分的步长比
u=zeros(m+1,n+1);%定义四层耦合介质温度分布矩阵
%% 初始条件和边界条件
u(:,1)=37;%初始条件
u(1,:)=65;%边界条件
%% 差分格式的系数矩阵
A=zeros(m1+m2+m3+m4,m1+m2+m3+m4);
for i=1:m1-1
A(i,i)=1+2*r1;
A(i,i+1)=-r1;
if i>=2
A(i,i-1)=-r1;
end
end
A(m1,m1)=(lam_1/derta_x1+lam_2/derta_x2);
A(m1,m1-1)=-lam_1/derta_x1;
A(m1,m1+1)=-lam_2/derta_x2;
for i=m1+1:m1+m2-1
A(i,i)=1+2*r2;
A(i,i+1)=-r2;
A(i,i-1)=-r2;
end
A(m1+m2,m1+m2)=(lam_2/derta_x2+lam_3/derta_x3);
A(m1+m2,m1+m2-1)=-lam_2/derta_x2;
A(m1+m2,m1+m2+1)=-lam_3/derta_x3;
for i=m1+m2+1:m1+m2+m3-1
A(i,i)=1+2*r3;
A(i,i+1)=-r3;
A(i,i-1)=-r3;
end
A(m1+m2+m3,m1+m2+m3)=(lam_3/derta_x3+lam_4/derta_x4);
A(m1+m2+m3,m1+m2+m3-1)=-lam_3/derta_x3;
A(m1+m2+m3,m1+m2+m3+1)=-lam_4/derta_x4;
for i=m1+m2+m3+1:m1+m2+m3+m4-1
A(i,i)=1+2*r4;
A(i,i-1)=-r4;
A(i,i+1)=-r4;
end
A(m,m)=h+lam_4/derta_x4;
A(m,m-1)=-lam_4/derta_x4;
%% 追赶法求解
for k=2:n+1
k;
b=zeros(m,1);
for i=2:m-1
b(i,1)=u(i+1,k-1);
end
b(1,1)=u(2,k-1)+r1*u(1,k);
b(m1,1)=0;
b(m1+m2,1)=0;
b(m1+m2+m3,1)=0;
b(m,1)=37*h;
bb=diag(A)';
aa=[0,diag(A,-1)'];
c=diag(A,1)';
N=length(bb);
L=zeros(N);
uu0=0;y0=0;aa(1)=0;
L(1)=bb(1)-aa(1)*uu0;
y(1)=(b(1)-y0*aa(1))/L(1);
uu(1)=c(1)/L(1);
for i=2:(N-1)
L(i)=bb(i)-aa(i)*uu(i-1);
y(i)=(b(i)-y(i-1)*aa(i))/L(i);
uu(i)=c(i)/L(i);
end
L(N)=bb(N)-aa(N)*uu(N-1);
y(N)=(b(N)-y(N-1)*aa(N))/L(N);
x(N)=y(N);
for i=(N-1):-1:1
x(i)=y(i)-uu(i)*x(i+1);
end
u(2:m+1,k)=x';
end
if u(m+1,3600)<=47&u(m+1,3301)<=44
optimum=[optimum l2*1000];
end
end
[p q]=min(optimum);
fprintf('II层材料的最优厚度：\n')
fprintf(' %.1fmm\n',p)
问题二灵敏度分析
c=[65 65.5 66 66.5 67 67.5 68 68.5]
l=[19.3 20.3 21.3 22.1 22.9 23.6 24.3 24.9]
plot(c,l)
参考文献
[1] 潘斌.热防护服装热传递数学建模及参数决定反问题[D].浙江理工大学.2016.12.28
[2]司守奎.数学建模方法与应用[M].北京:国防大学出版社，1994年:360页~370页.
[3]靳涛.高温作业专用服装的温度分布模型[J].消防界(电子版),2020, 6(10):
24-28.
[4]zzlghust.第二章-稳态热传导[Z].@百度文库,2018.
[5]zhangchao3322218.追赶法解三对角线性方程组(Matlab)[Z]. @CSDN,2011.