摘要
密码学的数学背景
详情
知识点
1.信息量(amount of information):假设信息是等可能的，对消息中所有可能的值进行编码所需要的最小位数
2.语言信息率(rate of language): r = H(M)/N; N:是消息的长度；在N相当大时，标准英语的语言信息率(r值)在1.0位/字母与1.5位/字母之间
3.绝对信息率(absolute rate):假定每一个字符串是等可能的，对每一个字母而言可被编码的最大位数。如果在一种语言中有L个字母，其绝对信息率是 
4.语言冗余度越大，它就越容易被攻击。密码系统的熵可由秘钥空间大小K来衡量:
唯一解距离(unidty distance)
使得对应明文的实际信息（熵）与加密秘钥的熵之和等于所用的密文位数的渐进密文量。
1.对于大多数对称秘钥系统而言，唯一减距离定义为秘钥系统的熵除以语言的冗余度：
2.唯一解距离与冗余度成反比。唯一解距离无穷大的密码系统定义为具有理想保密(ideal secrecy)
3.对于长度为n的消息而言，将一个密文消息解密为同一语言中某个有意义的明文，不同秘钥的数目由下式给出:
混乱和扩散
隐蔽明文消息中冗余度的基本技术
1.混乱(confusion):用于掩盖明文和密文之间的关系。
2.扩散(diffusion):通过将明文冗余度分散到密文中使之分散开来。密码分析者寻求这些冗余度将会更难。产生扩散最简单的方法是通过换位（也称为置换）。
复杂性理论
算法的计算复杂性常常用两个变量来度量：T(时间复杂性 time complexity) 和 S(空间复杂性 space complexity)
复杂性分类:
- 常数(constant):一个算法的复杂性不依赖于n，即为O(1)；
- 线性(linear):时间复杂性是O(n)；
- 二次方(quadratic)，三次方(cubic)：...；
- 指数(exponential):时间复杂性为
； - 超多项式(superpdynomial):复杂性为
；c是一个常数，f(n)是大于常数而小于线性的函数；
问题的复杂性
NP问题与密码学的关系如下:许多对称算法和所有公开密钥算法能够用非确定性的多项式时间（算法）进行攻击
费尔马小定理(Fermat's little theorem)
如果m是一个素数，且a不是m的倍数，那么，根据费尔马小定理有 
欧拉函数(Euler totient fuction)
表示模n的余数化简集中元素的数目。用
表示与n互素的小于n的正整数的数目(n>1)。
中国剩余定理(Chinese remainder theorem)
一个数(小于一些素数之积)被他的余数模这些素数唯一确定；代码：
int chinese_remainder (size_t r, int *m, int *u)
{
size_t i;
int modulus;
int n;
modulus = 1;
for( i = 0; i < r; ++i)
modules *= m[i];
n = 0;
for( i = 0; i < r; ++i) {
n += u[i] * modexp(modulus / m[i], totient(m[i])), m[i]);
n %= modulus;
}
return n;
}二次剩余(quadratic residue)
如果p是素数，且a<p,如果
对某些x成立，那么称a是对模p的二次剩余。
勒让德符号(Legendre symbol)
写作L(a, p), 当a为任意整数且p是一个大于2的素数时，它等于0， 1 或 -1。
L(a, p) = 0,如果a被p整除
L(a, p) = 1,如果a是二次剩余
L(a, p) = -1,如果a是非二次剩余
一种计算L(a, p)的方法是:
雅克比符号(Jacobi symbol)
写作J(a, n),是勒让德符号的合数模的一般化表示，它定义在任意整数a和奇整数n上。
Blum整数(Blum integar)
如果p和q是两个素数，且都是与3模4同余的，那么n=p x q叫做Blum整数。
生成元(generator)
如果p是一个素数，且g小于p，对于从0~p-1的每一个b，都存在某个a，使得 
,那么g是模p的生成元,也称为g是p的本原元(primitive)。
因子分解
1.数域筛选法(Number Field Sieve, NFS)
2.二次筛选法(Quadratic Sieve, QS)
3.椭圆曲线法(Elliptic Curve Method, ECM)
4.Pollard的蒙特卡罗算法(Pollard's Monte Carlo algorithm)
5.连分式算法(continued fraction algorithm)
6.试除法(trial division)
强素数(strong prime)
如果n是两个素数p和q之积，那么p和q采用强素数将更可取。强素数是慢速某些特性的素数，使得用某些特殊因子分解方式对他们的乘积n进行分解很困难。
计算有限群中的离散对数
密码设计者对下面三个主要群的离散对数很感兴趣:
- 素数域的乘法群:GF(p)
- 特征为2的有限域上的乘法群
- 有限域F上的椭圆曲线群 EC(F)