洛谷 P1136 迎接教主【线性DP】

思路：

线性DP
我们可以定义状态dp[i][j][k]表示前i个字符，‘j’改变成’z’ j 次，‘z’改变成’j’ k次。

交换两个字母，不会做无谓的操作，即不会交换两个相同的字母，所以交换m次，就会有m个’j’变成’z’，m个’z’变成’j’。所以在 $j==k$的时候就是交换的的时候，这时候更新答案。

遍历每一个字符，首先让 $dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k]$表示只增加一个字符，不进行交换。然后再根据s[i],s[i-1]的状态更新新的状态。

还有就是要注意初始化的问题，很多状态是不能达到的，所以开始将dp数组全部初始化为-inf。

例如，如果 $s[1]=='j'$， $dp[1][1][0]$就是不存在的，因为不会考虑’j’变为’j’的操作。

code：

#include<cstring>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=505;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int dp[maxn][105][105];//前i位，'j' 改变了j次，'z' 改变了k次。
int n,m,ans;
char s[maxn];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    scanf("%s",s+1);
    memset(dp,-inf,sizeof(dp));//注意初始化
    dp[0][0][0]=dp[1][0][0]=0;
    if(s[1]=='z') dp[1][0][1]=0;
    else dp[1][1][0]=0;
    int ans=-inf;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            for(int k=0;k<=m;k++)
            {
                dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k];//首先是没有改变
                if(s[i-1]=='j'&&s[i]=='z') dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],dp[i-2][j][k]+1);
                else if(s[i-1]=='j'&&s[i]=='j'&&j) dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],dp[i-2][j-1][k]+1);
                else if(s[i-1]=='z'&&s[i]=='j'&&j&&k) dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],dp[i-2][j-1][k-1]+1);
                else if(s[i-1]=='z'&&s[i]=='z'&&k) dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],dp[i-2][j][k-1]+1);
                if(k==j) ans=max(ans,dp[i][j][k]);
             }
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}