在自上而下分析中，左递归文法是一定需要改写的。对于简单的左递归文法，例如那种只含有直接左递归，一眼可以看出左递归在哪里的文法，我们可以直接使用下面的公式来消除左递归：

【下图引用自中南大学徐德智老师的编译原理2020年授课PPT】
在这里插入图片描述

直接左递归.

下面给出两个文法的例子：

G[S]:
S→S*a|a|(S)

G[E]:
E→E+M|E^|M
M→PbM|P
P→cEd|#

不难发现这两个文法中都只含有直接左递归，G[S]中的递归产生式为S→S*a，G[E]中的递归产生式为E→E+M以及E→E^.这类文法的直接左递归消除可以直接使用上述公式，消除之后的无直接左递归文法如下：

G[S]:
S→aT|(S)T
T→*aT|ε

G[E]:
E→MT
T→+MT|^T|ε
M→PbM|P
P→cEd|#

复杂左递归.

但如果遇到文法不是直接左递归的，它可能是间接左递归的，或者二者兼具，我们就无法直接使用上述公式来消除其左递归。但我们可以证明，对于一个不含有P→P这样的"回路产生式"以及P→ε这样的空产生式的文法，我们是一定可以消除其左递归的。我们给出两个这样的文法示例：

G[S]:
S→Qc|c
Q→Rb|b
R→Sa|a

G[L]:
L→La|Tb|c
T→L+|T*|f

对于文法G[S]，其每一个产生式都不含有直接左递归，但如果细细察看，它是存在这样的情况的：S→Qc→Rbc→Sabc，也就是间接左递归。对于这样的文法，我们如何消除其左递归。我们先以G[S]为例，叙述其具体消除过程，最后给出普适算法。

首先给文法的所有非终结符，以任意次序标号，从左向右考察这些非终结符，对于序号为i的非终结符，我们检测它是否有形如P $_i$ →P $_{i-k}$ α这样的产生式，如果有就将P $_{i-k}$ 的出现用其产生式代替。然后消除直接左递归(如果并没有直接左递归就什么也不做).
对于G[S]中的非终结符，S、Q、R我们规定一个次序，不妨就是S、Q、R这一次序。首先考察S，它并没有前置位的非终结符，所以我们进入直接左递归消除阶段，发现也没有直接左递归，所以对于S的产生式什么也不做；
考察Q，它的前置位非终结符是S，但显然Q没有形如Q→Sα这样的产生式，所以进入消除直接左递归的阶段，发现也没有直接左递归，所以对于Q的产生式我们什么也不做；
考察R，它的前置位非终结符是S和Q。依旧是从左向右考察，第一次扫描是S，我们发现有R→Sa这一产生式，所以执行替换，替换后的产生式为R→Qca|ca|a，进入消除直接左递归阶段，发现并没有事情可做；于是进入下一次扫描，这次的非终结符为Q，现在的R产生式中已经有了R→Qca这一产生式，所以也需要执行替换，替换后的产生式为R→Rbca|bca|ca|a，接下来进入消除左递归阶段，最终我们得到的文法如下所示：

G[S]:
S→Qc|c
Q→Rb|b
R→bcaT|caT|aT
T→bcaT|ε

实际上我们也可以采取另外的次序，例如我们标记顺序为R、Q、S，经过同样的步骤，得到的文法为：

G[S]:
S→abcT|bcT|cT
T→abcT|ε
Q→Rb|b
R→Sa|a

并且我们发现从开始符号S出发,永远也不会到达Q和R,所以关于Q和R的产生式完全多余.
最终为:

G[S]:
S→abcT|bcT|cT
T→abcT|ε

针对第二个示例文法，其中既有直接左递归，又存在间接左递归：

G[L]:
L→La|Tb|c
T→L+|T*|f

T→L+M|fM
M→*M|ε

L→La|L+Mb|fMb|c

而后进入左递归消除阶段，消除直接左递归后的L产生式如下：

L→fMbN|cN
N→+MbN|aN|ε

G[L]:
L→fMbN|cN
N→+MbN|aN|ε
T→L+M|fM
M→*M|ε

显然我们发现,从起始符号L出发,是无法到达非终结符T的,所以关于T的产生式是多余的.
最终:

G[L]:
L→fMbN|cN
N→+MbN|aN|ε
M→*M|ε

实际上我们也可以规定顺序为L、T，但那样会导致T不是多余的非终结符，而L作为起始符号又不可能删去，从而产生式的数量较多。通过这两个例子，我们也不难看出，如果想要将产生式的数量减少，最好是将起始符号的次序向后排，先剩余的非终结符进行改造，最终对于起始符号利用已经改造了一部分的文法产生式进行操作。

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