2015沈阳赛区Number Link(路径覆盖费用流)

Number Link

说是神仙题也不为过

好吧我承认我只是单纯的菜

其实这题的建模真的那么难想吗?恐怕没有

这题的实质还是路径覆盖,覆盖每个点且代价最小

$\color{Red}Ⅰ.如何处理奇数格子和偶数格子?$

$很容易想到,奇数偶数形成一个二分图,那么奇数放左边,偶数放右边$

$\color{Red}Ⅱ.每个点都要被覆盖,想到了什么?$

$以前做路径覆盖是拆点为入点和出点,这里也不例外$

$首先,空格子必定有边到入点,也有边到出点(不管成环还是作为奇偶路径)$

$奇数只能作为路径的开头,所以只需要有入点覆盖$

$偶数只能作为路径结尾,所以只需要有出点覆盖$

总结

把每个点拆成入点和出点

源点s向奇数格子和空格子的入点连流量1,费用0的边

偶数格子和空格子的出点向汇点t连流量1,费用0的边

每个格子的入点向上下左右连流量1,费用cost的边(cost题目给出)

$可以发现这样连边是个二分图$

$左边是奇数入点和空格入点$

$右边是偶数出点和空格出点,我们只是跑了一遍最小费用最大流(二分图匹配)$

$\color{Red}为什么结果是对的呢??$

$Ⅰ.首先,如果满流,说明每个奇数从源点流入,偶数点流出汇点(保证奇偶路径)$

$Ⅱ.然后源点必定流入每个空格子的入点,从空格子出点入到汇点$

$Ⅰ保证了奇偶路径的合法,相当于你把某些二分图匹配对拼起来就是奇数开头偶数结尾的路径$

$Ⅱ保证了环的合法性,假设是一条链,势必存在开头末尾只有一个入度,那就不会满流$

$\color{Red}最后一个问题了,题目中说2个点也算环,但是需要计算2次花费!!$

$这个没必要考虑$

$假如a,b两个点成环$

$一个匹配是是源点流入a入点再从b出点流到汇点$

$另一个匹配是源点流入b入点再流入a出点,最后流进汇点$

$其实花费已经计算了两次$

非常巧妙地构图方式,果然我网络流还是个菜鸡

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
const int inf=1e9;
#define id(x,y) (x-1)*m+y
int n,m,s,t,a[59][59];
struct edge{ int to,nxt,flow,w; }d[maxn];
int head[maxn],cnt=1;
void add(int u,int v,int flow,int w){
	d[++cnt]=(edge){v,head[u],flow,w},head[u]=cnt;
	d[++cnt]=(edge){u,head[v],0,-w},head[v]=cnt;
}
int dis[maxn],vis[maxn],pre[maxn],flow[maxn];
bool spfa()
{
	for(int i=0;i<=t;i++)	dis[i]=inf;
	queue<int>q; dis[s]=0; q.push(s);
	flow[s]=inf;
	while( !q.empty() )
	{
		int u=q.front(); q.pop();
		vis[u]=0;
		for(int i=head[u];i;i=d[i].nxt )
		{
			int v=d[i].to;
			if( d[i].flow&&dis[v]>dis[u]+d[i].w )
			{
				dis[v]=dis[u]+d[i].w;
				flow[v]=min(flow[u],d[i].flow );
				pre[v]=i;
				if( !vis[v] )	vis[v]=1,q.push(v);
			}
		}
	}
	return dis[t]!=inf;
}
int main()
{
	int T,casenum=0; cin >> T;
	while( T-- )
	{
		cin >> n >> m;
		s=0,t=n*m*2+1;
		int mincost=0,maxflow=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			cin >> a[i][j];
			if( a[i][j]%2==1||a[i][j]==0 )	add(s,id(i,j),1,0),maxflow--;
			if( a[i][j]%2==0 )	add(id(i,j)+n*m,t,1,0);
		}
		for(int i=1;i<n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			int cost; cin >> cost;
			add(id(i,j),id(i+1,j)+n*m,1,cost);
			add(id(i+1,j),id(i,j)+n*m,1,cost);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<m;j++)
		{
			int cost; cin >> cost;
			add(id(i,j),id(i,j+1)+n*m,1,cost);
			add(id(i,j+1),id(i,j)+n*m,1,cost);
		}
		while( spfa() )
		{
			int x=t,i;
			maxflow+=flow[t];
			mincost+=flow[t]*dis[t];
			while( x!=s )
			{
				i=pre[x];
				d[i].flow-=flow[t],d[i^1].flow+=flow[t];
				x=d[i^1].to;
			}
		}
		printf("Case #%d: ",++casenum);
		if( maxflow!=0 )	cout << -1 << '\n';
		else	cout << mincost << '\n';
		cnt=1;
		for(int i=0;i<=t;i++)	head[i]=0;
	}
}