圆方树

$大概就是把一般图变成树的结构,然后我们就可以在上面$ 乱搞了

$比如给定一张无向图,怎么把它转化为树?$

$大概做法是:求出所有点双连通分量,在每个点双连通中设置一个\color{Red}{方点}$

$把每个原图中的点看成一个\color{Red}圆点$

$然后每个点双连通分量中的点向新设的对应的方点连边$

$去掉原图中点双连通分量间的边$

看起来很不直观对吧…在这里盗用一张别人的图,很清楚

在这里插入图片描述

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$如图所示,无向图经过设置方点和圆点构成了最右边的一棵树$

$但是这棵树有什么性质?看一道例题吧.......不难的(仅指这道例题emm)$

P4630 [APIO2018] Duathlon 铁人两项

题意:给出无向图,求(s,c,f)三元组的个数,代表从s出发经过c达到f(不能重复经过点)

$考虑建好的圆方树,怎么来写呢?$

$如果固定了s和f,能不能快速求出c呢?$

比如这张无向图

$我们构建的圆方树是这样的(每个点双都要新建一个方点!!)$

$现在如果s=4,f=5,c有几种可能?$

$不难发现,c可以取的值有2,3,1,6$

仔细观察会发现这些点都在s到f在圆方树上路径的方点周围

$这是很重要的性质$

$如果我们给方点赋一个权值为它代表的点双连通大小$

$所有圆点赋值为-1$

$那么s到f的权值和不就是c的取值可能吗?$

$你可能奇怪为什么圆点赋值-1$

$很简单呢,图中节点2被上下两个方点包含了(计算了2次权值)$

$如果给圆点2赋值-1就能很好解决这个问题$

$但是回到题目,没有给定s和t,枚举复杂度不得上天??$

转变思维,s和t任意,代表我们应该计算圆方树中任意2个圆点间的权值和

$等价于统计每个点被经过了x次,乘上权值就是这个点的贡献嘛!!$

$完成这个统计,就树型dp啊!!$

$至于怎么树型dp,代码很清楚,不再累赘了$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=1e6+10;
int n,m,ans;
vector<int>vec[maxn];
struct edge{ int to,nxt; }d[maxn];
int head[maxn<<2],cnt=1;
void add(int u,int v){ d[++cnt]=(edge){v,head[u]},head[u]=cnt;}
void ins(int u,int v){	vec[u].push_back(v); }
int low[maxn],dfn[maxn],stac[maxn],id,top;
int square[maxn],nowsize,f,siz[maxn];
void tarjan(int u)
{
	low[u]=dfn[u]=++id,stac[++top]=u;
	nowsize++;
	for(int i=head[u];i;i=d[i].nxt )
	{
		int v=d[i].to;
		if( !dfn[v] )
		{
			tarjan(v),low[u]=min( low[u],low[v] );
			if( low[v]>=dfn[u] )//发现割点 
			{
				square[++f]=0;
				while( 1 )
				{
					ins(f,stac[top]); ins(stac[top],f );
					square[f]++;
					if( stac[top--]==v )	break;
				}
				ins(f,u); ins(u,f);
				square[f]++;
			}
		}
		else	low[u]=min( low[u],dfn[v] );
	}
}
void dfs(int u,int fa)
{
	siz[u] = ( u<=n );
	for(int i=0;i<vec[u].size();i++)
	{
		int v=vec[u][i];
		if( v==fa )	continue;
		dfs(v,u);
		ans+=siz[v]*siz[u]*square[u];
		siz[u]+=siz[v];
	}
	ans+=siz[u]*( nowsize-siz[u] )*square[u];
}
signed main()
{
	cin >> n >> m;
	f=n;//方点编号从n+1起
	for(int i=1;i<=n;i++)	square[i]=-1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int l,r; cin >> l >> r;
		add(l,r); add(r,l);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if( dfn[i] )	continue;
		nowsize=0;
		tarjan(i),top--;//排除根节点
		dfs(i,0);
	}
	cout << ans*2;//无序对,s和t可以交换
}

圆方树学习笔记(+例题详解)

圆方树

P4630 [APIO2018] Duathlon 铁人两项

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