第一类斯特林数
题意:一排房子,总共N幢,高度为1~N,从左边能看到F幢,从右边能看到F幢,问房子排列的可能
本题要点:
1、题目转化为第一类斯特林数:点这里
最高的房子必然两边都能看到, 设编号为n, 把n固定。然后左边看到 f - 1 栋房子, 右边看到
b - 1 栋房子。 左边的房子分为 f - 1 组, 右边的房子分为 b - 1 组。每一组选一个最高的房子出来做代表。
那么楼n的左边,从左到右,组与组之间最高的元素一定是单调递增的,且每组中的最高元素一定排在该组的最左边,
每组中的其它元素可以任意排列(相当于这个组中所有元素的环排列)。右边反之亦然。
题目的意思,相当于从 n - 1 栋房子,分配到 f + b - 2 个圆排列中,这符合第一类 striling 数的定义。
但根据这 f + b - 2 个圆排列, 有 f - 1 个放在 n 的左侧,因此需要乘上 c[f + b - 2][f - 1]
总数就是 s[n - 1][f + b - 2] * c[f + b - 2][f - 1]
2、 斯特林公式: 点这里
s[i][j] = s[i - 1][j - 1] + (i - 1) * s[i - 1][j]
3、使用递推公式,计算组合数
c[i][j] = c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MaxN = 2010;
const ll mod = 1e9 + 7;
int T, n, f, b;
ll s[MaxN][MaxN], c[MaxN][MaxN];
void init()
{
// 计算斯特林数
s[1][1] = 1;
for(int i = 2; i < MaxN; ++i)
{
for(int j = 1; j <= i; ++j)
{
s[i][j] = s[i - 1][j - 1] + (i - 1) * s[i - 1][j] % mod;
s[i][j] %= mod;
}
}
//初始化组合数
for(int i = 0; i < MaxN; ++i)
c[i][0] = 1;
for(int i = 1; i < MaxN; ++i)
{
for(int j = 1; j <= i; ++j)
{
c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
}
}
}
int main()
{
init();
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
scanf("%d%d%d", &n, &f, &b);
if(b + f - 1 > n)
{
printf("0\n");
continue;
}
printf("%lld\n", (s[n - 1][f + b - 2] * c[f + b - 2][f - 1]) % mod);
}
return 0;
}
/*
2
3 2 2
3 2 1
*/
/*
2
1
*/