高等数学知识框架初步
按照高聚合、低耦合的思路规划高等数学；让高等数学知识框架从易到难，从底层到上层，
首先说说前置知识。高等数学的前置知识是初等函数，即高中数学讲的内容；
然后讲讲核心内容。高等数学的核心内容是求极限、求微分、求积分。
最后讲讲应用。高等数学的应用包括几何应用等应用、中值定理、多元微分学、无穷级数。
文章目录
按学习路线
顺序依次为：极限计算、求导计算、微分计算、微积分的应用、中值定理、多元微分学。
计算问题解决了，应用问题都好说。
一、极限理论体系
前言
经过一段时间的学习，写写对高等数学中极限的认识。
仅现阶段个人的见解，请各位辩证理解
初等函数是高等函数的基础。高等函数是初等函数的进一步发展；
高等函数的核心是微积分，微积分的基础是极限；
在极限中一般使用极限的性质（一般性质、存在性质、无穷小性质、运算性质）证明极限和求极限；
函数极限计算中，常用的是七种未定式的转换以及泰勒公式；
函数极限计算的关键词有：未定式、无穷比阶、洛必达法则、变现积分求导、泰勒公式、脱帽戴帽等；
数列极限计算的关键词有：归结原则、递推式、单调有界准则、夹逼准则等；
联系函数展开式（泰勒展开式）以及数列递推式，引出无穷级数。
省略了数列极限的证明、函数的连续性以及间断点等知识；主要突出计算。牢牢把握住高等数学的三大计算。
初等数学
为高等数学的前置知识。主要有集合与函数（指数、对数、幂函数）、立体几何与平面几何、算法初步与概率和统计、三角函数和平面向量、数列与不等式；
参考：高中数学知识点总结(最全版)、张宇30讲
反函数、复合函数；
函数的四种特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性；
直角坐标系下的图像
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数；
图像变换
极坐标系下的图像
心型线（外摆线）、玫瑰线、阿基米德螺线、伯努利双扭线；
摆线（平摆线）、星型线（内摆线）
常见基础知识
数列：等差数列、等比数列、常见数列；
三角函数：基本关系、诱导公式、和差公式、积化和差、和差化积、万能公式；
指数、队数运算法则
一元二次方程、因式分解、阶乘
常用不等式
函数的性质以及数形结合在导数的几何应用中经常使用到；
常见基础知识在极限、求导、积分的计算中经常用到。
数列极限与函数极限
数列极限偏证明，常用存在性质；函数极限偏计算，常用到运算性质；
概念
数列极限证明、函数极限证明
一般性质
唯一性、（局部）有界性、（局部）保号性（衍生出脱帽法）
存在性质
夹逼准则、单调有界准则（魏氏准则）；
无穷小性质
无穷小比阶、常见等价无穷小
运算性质
数列极限的归结原则
极限运算性质
洛必达法则
泰勒公式
面对极限计算（如七种未定式），直接使用极限的基本性质一个一个试；高中的常见基础知识要烂熟于心；
无穷级数
数项级数判敛
正项级数：收敛原则、比较判别法、比较判别法的极限形式、比值判别法、根值判别法
交错级数：莱布尼兹判别法
任意项级数：绝对收敛、条件收敛；
幂级数的收敛域
阿贝尔定理
结论1
结论2
函数展开问题
幂级数求和问题
傅里叶级数（展开式、迪利克雷收敛定理）
总结
唯一核心是函数极限的计算。不过初等数学是其计算基础，必须掌握。无穷级数中的幂级数展开式就是泰勒公式，给函数极限计算带来了便利，需要了解。
函数极限的计算，一个是计算要过关，另一个就是极限的性质要掌握。
二、一元微分学理论体系
前言
求导是高等数学三大计算的第二大计算，是极限计算和积分计算的承前启后部分。
一元微分学理论体系
定义以及性质
导数：定义
微分：定义、微分不变性
求导工具
基本求导公式
四则运算
复合函数运算
反函数运算
求导类型
幂指函数（对数求导）
参数方程
高阶导数
变限积分求导
总结
微分部分内容许多，有几何应用（三点两性一线）、中值定理。
三、一元积分学理论体系
前言
积分是高等数学三大计算的第三大计算，是计算量最大的一个计算。还讲导数部分内容综合起来。
一元积分理论体系
概念
不定积分：祖孙三代的奇偶性和周期性
定积分：基本型、放缩型、变量型；
变限积分：求导公式
反常积分：敛散性
性质
不定积分：保号性
定积分：区间长度、线性性质、可加（拆）性、保号性、估值定理、积分中值定理；
解不定积分（四大积分法）
基本积分公式
凑微分法
换元法
分部积分法
有理函数积分
解定积分
牛顿-莱布尼兹公式
区间再现公式
华里士公式
补充
直接、拆分、换元、换序
求偏导
总结
求积分。
四、微积分的应用
前言
微分的应用、积分的应用、微分方程
微分的应用
三点两性一线
相关变化率
曲率
积分的应用
面积、体积、平均值
抽水做功
平面上的曲边梯形的形心坐标公式
弧长
微分方程
一阶微分方程的求解
变量可分离型
可化为变量可分离型
一阶线性微分方程
伯努利方程
二阶可降阶微分方程
不含未知函数y
不含自变量x
高阶线性微分方程的求解
二阶常系数齐次线性微分方程的通解
二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
应用
牛顿第二定律
变化率问题
五、中值定理
中值定理
函数
有界与最值定理
介值定理
平均值定理
零点定理
导数
费马定理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
泰勒公式
积分
积分中值定理
零点问题与微分不等式
零点问题
零点定理（证存在性）
单调性（证唯一性）
罗尔原话
实系数奇次方程至少有一个实根
微分不等式
用函数性态证明不等式
用常数变量化证明不等式
用中值定理证明不等式
积分等式与积分不等式
积分等式
用中值定理
用夹逼准则
用积分法
积分不等式
用函数的单调性
用拉格朗日中值定理
用泰勒公式
用积分法
六、多元微分学
前言
多元微积分的基础知识、多元微分学、多元积分学、三重积分和曲线曲面积分
多元微积分基础知识
向量代数
向量的运算：数量积和向量积
向量的方向角、方向余弦：stokes公式
空间平面与直线
平面方程：一般式、点法式、三点式、截距式
直线方程：一般式、点向式、参数式、两点式
位置关系：点到平面、直线、平面、直线与平面
空间曲线与曲面
空间曲线：一般式、参数式、空间曲线在坐标面上的投影
空间曲面：曲面方程、二次曲面、柱面、旋转曲面
多元函数微分学的几何应用
空间曲线的切线与法平面
空间曲面的切平面与法线
场论初步
方向导数
梯度
方向导数与梯度的关系
散度、旋度
多元函数微分学
基本概念
极限、连续、偏导数
可微、偏导数的连续性
多元函数微分法则
链式求导规则
隐函数存在定理
多元函数的极值最值
概念
无条件极值：隐函数、显函数
条件极值与拉格朗日乘数法：闭区域边界上、闭区域上
多重积分
概念
对称性：普通、轮换
计算
直角坐标系
极坐标系
极值互化
积分次序
二重三重积分、曲线曲面积分
二重三重积分与第一型曲线曲面积分
概念、性质
对称性：普通、轮换
计算
基础方法：化为定积分
技术方法：对称性、形心公式的逆用
应用
空间曲面求面积：用第一型曲面积分
空间物体的重心、形心：三重积分
第二型曲线曲面积分
第二型曲线积分：场、概念、性质
平面第二型曲线积分的计算：化为定积分，格林公式；
空间第二型曲线积分的计算：斯托克斯公式
第二型曲面积分：向量场、概念、性质
第二型曲面积分的计算：化为二重积分、高斯公式
总结
认识是多角度反复的。
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