我们如何描述时空？

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理论上，普朗克长度(1.616255(18)×1e−35米)是可测量的最小距离。这是因为测量的距离越小，需要使用的频率波越高；频率波越高，体积越小，而能容纳的能量越多。

假设测量一个足够小的物体，所需要的能量会产生一个直径相当的黑洞。能量越多，黑洞就越大。由于我们看不到黑洞视界，因而无法测量任何更小的东西。前提是重力作用在这些尺度上的物体和大尺度上的物体一样，但我们对此一无所知。

然而，这并不意味着更小的事物不存在。真正的问题在于最小长度是否存在，也就是说，宇宙是有原子长度的离散状态，还是没有最小长度的连续状态。这对于时间也同样适用。时间是否有一个前进的“滴答声”，或是在t=0到t=1之间的所有可能实时时间内流畅移动？

诺贝尔奖得主暨邦戈鼓演奏家理查德·费曼（Richard Feynman）对物理学连续数的一些特征提出了异议。尤其是巴纳赫-塔斯基（Banach-Tarski）悖论（选择公理<Axiom of Choice>的结果），在这个悖论中，一个球体可以被分解成有限数量的碎片，不必拉伸就重组为与原球体体积相同的两个球体。

其关键在于，由于它们被分解成的集合是无数单个点的散乱排布，该理论只适用于球体是连续体的情况。（在不到三维的空间中，该悖论仍成立，但需要无限子集。）费曼对这种想法嗤之以鼻，他认为，原子无法切割，所以无法得到需要的集合。最终只会得到有限数量的原子，而非无限的点。

作为明显连续量子场论的主要创始人之一，费曼是离散时空的信奉者吗？如果他的发明时空费曼棋盘模式确实有所指，那他就是。

那么连续的空间和时间呢？如果它们可以无限分割，那么长度、面积和体积的概念就失去意义了吗？亦或这只是典型的人类愚蠢行为？伟大的数学家克罗内克说过：“上帝创造了整数，其余一切都是人造的。”真的是这样吗？

一切都是量子引力

一切时空理论都必与重力有关，都是引力理论。具体而言，如爱因斯坦发明的广义相对论。该理论在过去的一个世纪里被证实了无数次，它假定空间和时间是一种流形，即一种像地球和物体重力在弯曲时空中移动的形状。

一切关于时空中极小物质的理论都势必与量子力学有关。量子力学提出，所有的物质和力都由场域构成，而非小硬块，它们都有波状性质，这意味着所有事物都有频率和振幅。

一切关于极小时空的理论必定与量子引力有关，它最终会归结为时空的波状性质。很遗憾，我们不知道量子引力理论是什么，目前仅有一些假设。

大多数量子引力理论采取连续或离散的方法。其最受欢迎的理论是弦理论，采用连续方法，使振动的弦在高维时空的连续流形中运动。其他理论，如圈量子引力和因果集合论，假设存在一个尺度，在这个尺度上距离失去了意义，只讨论彼此之间具有离散关系的事件。

与巴纳赫-塔斯基悖论的关系？

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弦理论不考虑巴纳赫-塔斯基悖论，因为它只与弦及它们如何振动有关。它不在乎空间和时间的表面下有什么。弦赖以振动的微时空是一些非常特殊的类型，例如卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形，它们的晶体结构使物质得以存在。

有人认为，巴纳赫-塔斯基悖论解释了空间如何膨胀，它与弦存在的微时空有关（巴纳赫-塔斯基-经典Banach-Tarski-Cantorian宇宙学）。这一假设为该悖论赋予了物理意义，即空间和时间可以重新调整自己，变得更大或更小。

圈量子引力通过将时空压缩为图论来避免这个问题，这样一来，在尽可能小的尺度上，空间和时间不再是连续的，而是像由相互关联的点组成的蜘蛛网一样；因果集合论将时空压缩为离散的因果集，它看重的是一件事如何引起另一件事，而非两者间的关系。

费曼的棋盘与细胞自动机（即那些基于规则的小型机器）的关系似乎很理想，但它从来没有成功地扩展到超过一个维度的空间和时间。尽管如此，这似乎是数理巨头斯蒂芬•沃尔夫勒姆(StephenWolfram)正在采用的方法，而在复杂程度上，这类理论远远落后于其竞争对手。

真理，像埋在麦田里的宝藏，等待被发现。在所有这些离散时空的情况下，集合不能被切割成无限的实数排布。因此，无论如何，它们都不能重建成不同的体积长度，但也存在缺点。

意识是什么？

有观点指出（基于塞尔的中文房间Chinese Room思想实验）数字大脑是无意识的，人类意识本质上需通过非数字化实现。原因在于，任何数字大脑最终都可以简化为一个显然无意识的查表系统。（这也是基于数字计算机的人工智能没有意识的原因。）如果宇宙从根本上是数字化的，那么你是否具有意识就值得怀疑了。

意识本身是否依赖于巴纳赫-塔斯基悖论？如果是的话，拥有一个全数字化的时空理论对理解意识的意义何在？如果排除了一切连续的物理现实，即所有的物质和力都变成离散结构，这个难题就会被放大。

两全其美

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然而，滑铁卢大学的肯普夫采取了另一种基于采样定理的方法，即离散时间序列样本与其对应信号（如音频或无线电信号）之间的关系。这种方法表明，宇宙可能既是连续的又是离散的，就像信息可以既是连续的又是离散的一样。因此，它基本上是一种基于信息的量子引力方法。

基于采样的方法始于香农的采样定理，它是信息论的核心定理。香农的理论认为，任何有限带宽信号（即频率带宽有限制的信号），如果以该频率两倍的速率采样，都可以完美地重建。例如，10兆赫的带宽只需要在20兆赫采样就能完美地重建信号。

这意味着一个数字化信号的准确性仅与单个样本一样。样本本身可以是任何实数或复数，但在实践中，它们被简化为若干比特数，这破坏了数字化的精准性。

考虑到普朗克长度(和普朗克时间)的限制，小于此长度的波长无法描述时空。因此，空间和时间受波长相反的带宽限制。这意味着时空可以由离散点组成，但最重要的一点是，这与连续时空流形没有区别。这种波段限制在高能伽马射线爆发或引力波中可以观察到。

你听得到鼓的形状吗？

爱因斯坦的时空理论本质上是关于时空的形状，而采样定理是关于频率的。因此，为了将采样定理应用到时空中，必须理解形状和频率是如何相互关联的。

早在20世纪60年代，马克·卡克就在他著名的演讲《能听到鼓的形状吗？》（Can One Hear the Shape of aDrum?）中阐述了这一观点。卡克关心的是，两个发出相同音调的鼓是否必须有相同的形状。与爱因斯坦理论的则关切于，假如给定两个时空流形，若它们产生相同的频率集，它们的流形是否相同？

这似乎对量子引力很重要，因为量子理论关注波、场和频率，而引力关注形状。