看拉式变换视频有感

原视频
原视频很搞笑的用个拉拉丝（拉拉锁）来介绍拉式变换,依次给出了下面几个公式：
第一个公式： $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+....$
即

第二个公式： $A(x)=a_0+a_1 x^1+a_2 x^2+...+a_nx^n$
第三个公式（函数 $e^x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开，或者说是函数 e^x 的麦克劳林级数）： $A(x)=1+\frac{1}{1!}x^1+\frac{1}{2!} x^2+\frac{1}{3!}x^3+...=e^x$
现在，让离散求和变成连续求和，即不再是变量 n=0,1,2,3…，而是另外定义一个变量t ，并且有 $0\leq t<\propto$ ，即 t 可以为 $[0,\propto)$ 中的任意数。即

上式与第一个区别在于用 t 取替代了 n ；用积分符号替代了累加符号。
将以 x 为底数的指数替换成以 e 为底数的指数形式：
即

既然写出这个积分当然希望其可解，或者说收敛。而只有当 x 是一个小于 1的数时，即自然指数函数的幂为负数时，该积分才有可能收敛，所以这里要求 $x<1$ 。作为对数，还需要满足 $x>0$，所以这里有 $x>0$ 。显然，当 $0<x<1$时， $lnx<0$ 。
令 $s=-ln x$