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要说在程序员间广为人知而又颇具难度的数据结构，红黑树算是首当其冲。如果掌握其原理，茶余饭后也能增加一份吹牛资本。但网上大量博文介绍均以红黑树性质证明其结构可行（以结果证明原因？），让人着实费解。本文将从红黑树设计目的出发分析其原理构成，希望能为大家提供新的理解思路。当然，博主才疏学浅，如有漏洞或错误欢迎在评论区指出。
那么事不宜迟，各位看官就同我来看看今日的瞎掰小知识吧。
简述
本篇博客较长，在此简述红黑树的设计思路，若看官们对部分细节存在疑问可根据目录跳转查看详细内容与证明。
红黑树源于二叉排序树，在原基础上通过左右旋进行树深度平衡，并且以"左右节点的子树最小深度之差不超过1"作为是否执行平衡操作的判断条件。其红黑状态设计目的是为了优化各个子树间的深度比较方法，用红（1）黑（0）在二叉树上进行二进制的加减法运算，并实现子树间的相对深度表达，其中对于二进制加法进位还增加了惰性检查机制以降低树平衡频率。
大佬们制作的在线红黑树操作模拟网页：红黑树模拟，用于学习与验证比较方便。
1. 何为红黑树
红黑树是一种具备自排序性质的数据结构，且每次操作（增删改查）的时间复杂度均为O(logN)。自排序性质再加上高性能使得红黑树在各种场景中被应用，如c++中stl的set与map结构，还有java中的hashmap（JDK1.8版本中采用了哈希表+链表+红黑树的结构）。当然hashmap也是一种优秀的数据结构，博主在之后的文章中会对其进行介绍。
2. 红黑树由来
其最初设想来源于二叉排序树的缺陷：若不进行干预，二叉排序树的时间复杂度O(N*logN)可能会随着数据写入降低至最低O(N*N)水平，退化为链表结构。为了解决这一问题，诸多大佬们提出了树的自平衡概念，在每次操作中不断平衡树结构让其接近于完全二叉树结构，从而维持时间复杂度在O(N*logN)水平。
在此基础上，演变出了两种有名的平衡二叉树，AVL树与红黑树。两者原理类似，但AVL树的平衡限制条件更高，为"任意节点左右子树的深度差最大为1"，所以在增删操作中，触发平衡策略的频率较高。而红黑树更偏向于工业化应用，通过适当放宽平衡限制条件，换取了更低频率的平衡操作。因此在高读写的业务场景中，红黑树的表现会更优秀一些。而在高读低写的业务场景中，AVL树可能会更有优势。当然，除非追求特定方面的极致性能，一般情况下使用红黑树均已足够。
3. 树平衡手段
对于以下这颗失衡的二叉排序树，各位看官们应该都能想到其平衡办法：把根节点10转变为节点18的左子节点，各节点的树深度就平均了，且其仍然保持着二叉排序树的性质（左节点总小于父节点，而右节点总大于父节点）。
这实际上就是树平衡中左旋的雏形（相对的也有右旋），通过调整右子节点与父节点的关系，从而实现左右子树的深度调整。此时各位看官可能有话想说：举例模型过于简单，如果18节点存在左子节点那不是冲突了吗？正好，我们接下来看一例完全的树结构模型。
图中LL/LR/RL/RR并不是单一的一个节点，而是代表了左子树L的左右子树（LL与LR），与右子树R的左右子树(RL与RR)。可以确认的是在整个右旋过程中，涉及变化的只有三个部分：M、R节点以及RL子树。之前提出的问题在该图得到了解答：当右子节点R成为父节点M的父节点时，父节点M就空出了其右子树的位置，此时将右子树被替换下来的左子树(RL)接替到该位置，右旋操作便完成了。
当然，一切要按规矩来，子树RL之所以能接替在节点M的右子分支上，是因为二叉排序树的性质：当前节点右子树R下的值均大于当前节点M的值。那么节点M的右子树R的左子树RL，其所有值也必然大于M，将其接替在节点M的右子分支上并不会破坏二叉排序树的性质。同理，RR子树接替在节点M的右子分支上也不会破坏二叉排序树性质（虽然不需要这样做）。
从上述例子中可以看出，该方法可通用于二叉排序树上任何节点并保持其性质稳定。而其达到的具体效果如何呢？根据图示，左旋的影响为：子树LL/LR深度均+1，子树RL深度不变，子树RR深度-1。
了解这一点对后续设计平衡策略至关重要，毕竟左旋和右旋是我们平衡树的手段，不熟悉就难以对各种场景进行处理。另外还有右旋的操作方式与影响，相信各位看官都能根据左旋进行推敲，这边直接上结论。
右旋的影响为：子树RL/RR深度均+1，子树LR深度不变，子树LL深度-1。
为了方便记忆，可以这样理解左右旋。左旋：将节点从右边分到左边，右旋：将节点从左边分到右边。讲回两种操作的深度影响，可以看到仅有LL或者RR才会出现深度降低，同时另一侧树深度上升。在完整的应用场景里，这还缺少了降低LR和RL子树深度的方法。这时候可能有看官想到了：如果在LL/LR/RL/RR四个子树里LR深度最大且超出限制，那就先基于L和LR左旋，把深度交换一部分给LL，让LL变成四个子树中深度最大的，然后就可以基于L和M右旋了。同样，可以推理降低RL子树深度的方式。
将不同场景的深度降低方式总结下来，一共是四种（不用特地记忆，理解即可）：
1）降低LL：直接右旋
2）降低LR：先左旋，和LL进行深度调整，最后右旋
3）降低RL：先右旋，和RR进行深度调整，最后左旋
4）降低RR：直接左旋
各位看官看到这里辛苦了，可以先捋捋思路，对博主提供的看点进行验证推翻。例如在LL/LR/RL/RR四个子树的模型下，出现某一子树深度最大的情况如何平衡。当然，能用左右旋以外的方法解决最好，请务必在评论区与博主分享一下。
4. 平衡限制条件
既然调整树深度的工具已经到手，就可以将这颗二叉排序树修剪成我们想要的样子了。接下来请大家自由发挥。
常见的平衡限制条件基本是与树深度相关的，比如最大深度 / 最小深度，亦或是两者并用（AVL树），另外平衡限制条件对树上任意节点都生效，这一点请勿遗漏。
对于AVL树来说，其要求为左右子树互相之间的最大深度 - 最小深度之差不超过1，若超过则进行平衡。如果我们想要打造一颗自己的平衡二叉树，设置的平衡限制条件必须能明确树的倾斜边界。即任何情况下树中最大深度和最小深度的叶子节点（也包括nil节点）深度之差是可确定范围的，否则树歪起来没有限制可就糟糕了。
讲了这么多都是虚的，不如实际动手设计一颗平衡二叉树。平衡限制条件就暂定为"左右子树的最大深度之差不超过1"，其平衡边界是否为可确定的呢？让我们即刻探究一下。其中用于验证的树模型结构可以稍微简化一下，默认右子树的深度总是小于左子树，这样最大深度就位于最左边的左子树上，最小深度则位于最右边的右子树上。再加上之前预设的平衡限制条件可以得到下图（其中L/RL1/RL2等都代表一颗子树，其子节点就不画出来了）：
从图中可以观察到，RL1节点的最大深度为K-1（K为树最大深度），但若除去父节点的深度，留给RL1自己的深度仅有K-3（减去M/R两个节点深度），同样可得RL2自身深度为K-5，RL3自身深度为K-7。不难推测其构成了-2的等差数列，第n个子树RLn的通项公式为self_dep(RLn)=K-2*n-1，其中K为整颗树上的最大深度，同时n也等于RLn节点的父节点深度减一。而当self_dep(RLn)<=1时，作为其兄弟节点的右子树Rn深度为0已无法再继续向下分裂，从而抵达了最小深度所在之处。
当K为奇数时，有最终项K-2*n-1=0可得n=(K-1)/2，其父节点深度dep=n+1，即min_dep=(n+1)/2。
当K为偶数时，有最终项K-2*n-1=1可得n=K/2-1，其父节点深度dep=n+1，即min_dep=n/2。
由上可知，在"左右子树的最大深度之差不超过1"的平衡条件中，平衡树中最大深度不会超出最小深度的两倍，其倾斜边界可确定，条件可行。那么有没有错误示范呢？有的，比如"左右子树的最小深度之差不超过1"的平衡条件就无法确定倾斜边界。下图的树结构就符合平衡条件，但树已经歪至天际。其最大深度可以无限增长且与最小深度无关，倾斜边界无法确定。
那么最小深度就无法作为平衡条件了吗？并不是。上述样例的问题是因为其忽略了二叉树性质，当前节点可选一颗子树作为最小深度，此时另一颗子树的深度限制就被解除了，从而实现绕过平衡条件进行增长。知道了漏洞所在，只要进行填补即可。我们使用新的平衡限制条件为"左右节点的子树最小深度之差不超过1"，此条件覆盖了向下一层的所有节点，不存在绕过平衡条件的情况。并且碰巧的是，红黑树采用的平衡限制条件就是它。
该平衡条件的边界证明与之前相似，我们默认树模型中右子树的最小深度大于等于左子树的最小深度，来探究最右侧的树深度能达到多少。同样我们采取的是"弃左保右"策略，通过让左子树继承父节点的min_dep，解放右子树的深度限制，可以达到父节点min_dep+1的深度。但在该平衡条件中受到LL/LR/RLn/Rn四颗子树中的最小值限制，Rn的min_dep是无法一直进行增长的，其具体模型如下所示：
图中self_dep为当前节点除去父节点深度后剩下的深度，当其等于零时说明已经抵达最大深度节点处。让我们把self_dep数据单独抽取出来，每层均存在四个节点，分别代表了LL/LR/RL/RR。其值规律为：
即每加两层深度，RR子树自身深度下降一，LL/LR/RL/RR四颗子树任意一颗self_dep降至0时扩展结束。其中LL为最小值，可知当self_dep(LL)=0时，RR子树可达到的深度已经增长到2K或者2K-1（初始深度为K，K，K，K+1情况下）。
综上所述，可得结论：在"左右节点的子树最小深度之差不超过1"的平衡条件中，平衡树中最大深度不会超出最小深度的两倍。是否感觉很眼熟？是的，平衡条件"左右子树的最大深度之差不超过1"得到的倾斜边界也为这个，因此若想区分不同平衡树，使用平衡条件进行描述是个更好的方法。
5. 增删节点逻辑
调整树的工具和平衡树的理想形状都已设计完成，接下来要做的就是让其向外提供服务了。外部的操作主要分为增删改查四部分，其中改和查不影响树结构（改是指value，并不是key），直接让其走二叉排序树的逻辑即可。重要的是其中增加节点与删除节点两部分。
1. 增加节点
增加节点首先要确定节点位置，这一点可通过二叉排序树的查逻辑实现，而后将其作为叶子节点连接到对应位置上。然后向上更新父节点的深度数据一路到根节点，例如平衡条件设置的是"左右子树的最大深度之差不超过1"，则可在每个节点上存储对应的最大深度值，同时父节点最大深度=max(左子树最大深度,右子树最大深度)+1。一旦发现超出了平衡条件，就要根据子树的深度情况进行旋转，之前树平衡手段中所说的内容博主这边再放一遍：
1）降低LL：直接右旋
2）降低LR：先左旋，和LL进行深度调整，最后右旋
3）降低RL：先右旋，和RR进行深度调整，最后左旋
4）降低RR：直接左旋
因为不存在一次性增加多个节点的情况，所以能确保每次最多一个节点突破平衡条件。当然，每次旋转完后记得更新相关节点存储的深度数据，并且向上更新至根节点。各位小伙伴可根据自己设定的平衡条件确认不同情况下的平衡流程。
2. 删除节点
删除节点的查找部分不再赘述，主要是其对树结构的破坏需要注意。一共三种情况：
1）叶子节点删除。只需要将深度信息向上更新，如果触发平衡条件就进行旋转，与增加节点的流程基本一致。
2）非叶子节点删除。这种情况下直接删除目标节点会引起树结构大规模变动，设计较为麻烦。一种较好的方式是将删除节点与其后继节点或者前继节点进行交换，可以在不破坏二叉排序树性质的情况下，将删除非叶子节点转变为删除叶子节点。其中还可能会存在一种情况：找到的后继节点存在右子节点。该情况下将后继节点直接删除即可，用右子节点接替原位置并不会引起性质破坏，但向上的深度更新仍是要做的，不同场景下旋转情况有所不同，此处暂不做枚举介绍。
至此为止，实现一颗平衡树所需要的结构流程都已设计完毕，大家没事的时候可以手写试试。
6. 红黑状态
最后，让我们将注意力调回红黑树上原来这是篇红黑树博客，红黑树其命名来源于树中的红黑节点状态。之所以在原有平衡树结构上增加了该设计，其目的是优化增删过程中存储的深度数据，改为以更少内存占用的红黑二进制状态存储，且平衡判断逻辑更加简单顺滑。其中二进制的进位还采用了惰性检测的机制降低平衡频率，为了让讨论的模型尽量简单以下部分将不会加入该机制，改为在最后分段解释。
1. 平衡限制带来的优化
红黑树的平衡限制条件之前已经讨论过，其内容为"左右节点的子树最小深度之差不超过1"。相比起左右节点的子树最小深度差值可能会超过1（此时触发平衡），左右节点的最小深度差值永远不会超过1（可自行证明）。若能将左右节点的子树深度比较转换为左右节点比较，则各节点只需存储一位二进制便可模拟所有场景【左右子树均为1或0时代表深度相等，为1和0时代表深度差1】。
那么是否存在方法转换比较的模式呢？让我们来分析一下平衡条件的触发场景。抛开左右的排列组合（即默认右子树深度高一些），其只有一种情况，如下图所示。其中的self_dep均代表以自身为根节点的最小深度值。
LL/LR其中的一个最小深度可以为K+1，并不会影响条件触发。至于RL子树，首先不能为K，否则在RL与RR之间已经触发平衡条件。其次也不能为K+2，因为此时R最小深度已达到K+3，超出L节点最小深度2层，因此RL只能等于K+1。
普通的判断步骤是LL/LR/RL/RR最小深度值相互比较，查看其中是否存在超出1的差值。但在树结构上我们可以挖掘到更多信息：RL与RR的最小深度均大于等于K+1，可得R的最小深度为K+2，同理L的最小深度为K+1。若以左右节点比较的方式来描述该场景则为：当触发平衡限制时，可知左右子树存在深度差，且深度更大的一侧子树中，其左右子树也存在深度差（深度差只能为1）。该因果关系反向也能成立，看官们若有兴趣可自行证明。
将上述得到的结论以二进制形式应用，便衍生出了新的深度检查机制：每个节点存储一位二进制，其值代表与兄弟节点的相对深度。当左右子树的相对深度为1和0，且为1的一侧子树中，其左右子树深度也1和0时，触发平衡限制。看起来比较绕口，让我们将其画成图：
可以看到当两个相连节点均为1时，若高位节点的兄弟节点为0，此时触发平衡限制。从这里可以推导出的另一个结论是平衡情况下，不会存在两个相连节点同时为1。红色在红黑树中代表1，黑色代表0。红节点的父节点或子节点必为黑节点的结论可从此处得来。
2. 相对深度计算
既然利用相对深度进行判断可行且占用空间较少，那么得想办法实现相对深度的计算。
新增的节点默认值可设置为1（相对深度为1）。而父节点相对深度推算可根据子节点情况进行：仅当左右节点相对深度均为1时，说明整体的最小深度增加了1，此时需要向上进位，将父节点值增加1（深度增加），左右节点重置为0，等待下一层深度的进位。简单来看，就是基于二叉树结构进行的二进制加法。
个别小伙伴可能会有担心：如果父节点已经为1，子节点再上进位会怎么样？答案是不会出现该情况：在父节点为1的情况下，若子节点任意一个为1时就会触发平衡，没有凑成两个1节点的机会。当然，如果你将平衡条件放宽就会出现这种情况，但那时一个节点所需要保存的也不只是一个二进制位了。
到目前为止，二进制模式已经支持红黑树增量操作中的平衡判断了：
1）新增节点默认为1。
2）增加节点后，检查其兄弟节点是否为1，若为1则向上进位，然后在父节点重复该步。
3）若无法进位，检查其父节点是否为1，若为1则需基于父节点和祖父节点进行平衡操作。
另外需要一提的是根节点固定为0，因为其没有父节点也没有兄弟节点，没有存储相对深度的必要。在整个二进制模式中充当的更像是处理数据溢出的角色。
3. 旋转的红黑状态变化
删除操作对二进制状态的改变类似于做二进制减法，而左右旋的改变既不是加法也不是减法（也可能博主是没想到加减法的方式），而是节点转移。让我们暂且放下删除操作，先来看看旋转的影响吧。
旋转的场景较少，此处我们分析降低RR深度与RL深度两种情况即可（左子树的可以类推）。
1）降低RR节点：左旋操作。
在旋转过程中，确定相对深度的坐标系非常重要，我们需要基于该值重新推算旋转后各节点的相对深度。例如以M节点为顶点的这颗子树向外提供的相对深度基于实际深度K+2（上图所示），那么在旋转后，R节点替代了M节点且实际深度达到K+3，在原K+2的基础上增加1，因此R节点当前的相对深度应为1。然后依次向下推导相对深度，剩余的M与RR，L与RL实际深度相同，因此均为0（均为1时相对深度就不平衡了）。至于LL和LR子树，其作为兄弟节点就没有发生变化过，那么相对深度保持原状即可。
2）降低RL节点：先右旋后左旋操作。
对于RL节点的深度降低，需要基于R与RL进行右旋操作将节点转移给右子树。受到平衡条件限制，RL的子树RLL与RLR最小深度只可能是K+1，否则若存在K+2的深度，与RRL/RRR产生差距2，在RL与RR层就已发生平衡旋转（更新都是从下向上发起的）。
可以从上图观察到，旋转操作执行完毕后，RL替代了原顶点R且实际深度未变，因此相对深度也仍保持原值1。而位于下一层的R与RLL节点存在1的深度差距，因此R节点设置为1，RLL节点相对深度设置为0。剩余的RLR/RR，RRL/RRR实际深度不变，相对深度也保持不变。
在一步右旋操作后，当前树状态已转换为（1）中的情况，后续的左旋操作不再赘述。根据上述模拟得到的信息，实际代码实现时只需对发生变动的节点进行状态位设置即可。
4. 删除的红黑状态变化
新增节点和旋转操作的二进制运算模式均已设计完毕，让我们来看看最后的删除操作。新增节点采用的是二进制加法进位，那么大家也容易想到删除节点使用的方法：二进制减法退位。而增加节点的时候默认赋值1，在删除节点时自然也要将1收回。
在5.2节中，介绍了删除操作的几种情况：1）删除叶子节点 2）删除非叶子节点。其中在删除非叶子节点时，通过后继节点或前继节点的替换，可以将其转换为删除叶子节点的模式，所以我们主要观察删除叶子节点的场景即可。
在图中，L和RL分别代表一颗子树，且RL可能为空，RR为删除的目标节点，且是叶子节点。那么删除有以下几种情况：
1）RR节点为1，RL只能为0（两者均为1时会进位），即空节点。删除节点后未触发平衡条件，删除结束。
2）RR节点为0，当前位不足时，需要向高位借一。
在红黑树中借位有两种方式：<1> 通过让父节点减一，左右节点同时加一。<2> 通过左右旋从兄弟子树获取深度。
其中方式<2>一般用于特定情况下优化步骤。因为目标叶子节点删除后，其归属的子树最小深度减1，变相让兄弟节点的相对深度加1。若兄弟节点为1或兄弟节点的子节点为1，此时便触发或超出了平衡限制条件，需要进行旋转操作。且基于平衡限制进行的旋转操作，最终必然会出现进位（可参考6.3节中的旋转操作），这就抵消了删除节点时向原父节点的借位操作。
因此与其删除节点触发父节点借位，再旋转平衡后重新进位抵消，不如先旋转获取深度，然后执行删除操作。
最终可得删除（减法）执行步骤：
1）目标节点若为1，则将其降为0后减法结束。否则转步骤2。
2）目标节点为0。若兄弟节点为1或兄弟节点的子节点为1，则基于兄弟节点与父节点进行旋转。之后转步骤3。
3）兄弟节点已无额外深度可提供，则需要向父节点借1，然后执行减法。若父节点为1流程结束，否则将父节点设置为目标节点重复步骤2。（即向更上层借位）
待减法流程完成后，最后将原目标节点删除即可。另外根节点的借位无限制，可无视其状态位直接借位。
上图为兄弟节点为1的情况，旋转后向R借位，最后删除RR节点。
上图为兄弟节点的子节点为1的情况，若图中RLR为1，则需要先左旋后右旋，具体请参照降低LR或RL的方法。
5. 惰性检查
基于红黑状态的增删以及旋转操作均已实现，最后让我们来看看红黑树的惰性检查机制吧。
相比起前面即刻触发的进位操作，红黑树选择了将其与平衡限制检查的操作合并。即发现当前节点与父节点均为1时，才检查父节点的兄弟节点。若兄弟节点值为1，则触发进位操作。否则判断已超出平衡限制，触发旋转操作。
从上图中可以看见，左右节点同为1时并不会立刻触发进位。仅当前目标与父节点同为1，此时不得不进行进位操作，否则会影响平衡判断。其中基于M和R1的左旋也与之前稍有不同：并不是让R1直接进位为1，而是将其拖延下来，存储于M与R2上，等待M/R2的任意子节点为1时才进位。
该机制源于树的深度范围：在平衡限制条件"左右节点的子树最小深度之差不超过1"下，其倾斜边界为树的最大深度不超出最小深度两倍。但实际平衡时，左右子树的倾斜情况各不相同，最大深度的差距从差2到差两倍不等。
如果在保证倾斜边界（也就是深度范围）的情况下，尽量等到树不能再倾斜后再进行平衡，此时一次平衡操作所转移的节点数更多，效率更高（相比起小倾斜度平衡，高平衡频率）。但实际情况中，节点的增加方式完全是随机的，上述抵达倾斜边界的情况并不可控。
聪明的设计者决定在原有的平衡限制条件上做一个越界操作，也就是我们前面看到的惰性检查机制。该机制导致左右节点的红色进位必须要子节点为红色"推着"才能走，红节点每向上走一层，就要增加一层的节点用以进位。向上走N层，就必须要增加N层的子节点，最终实现每次平衡时均达到倾斜边界的效果。
（惰性检查机制下的节点进位，其实已经越过了原有"左右节点的子树最小深度差不超过1"的平衡限制条件）
惰性检查在保证查询深度范围的情况下，通过小幅度降低查询效率的代价，换取更低的平衡频率，提高增删处理效率。且其在频繁增删节点的场景中，也起到了降低红黑状态进退位频率的作用。
无论是在最初的平衡条件上，亦或是惰性检查的机制上，红黑树的设计者都做了不少的读写效率取舍。方方面面的调整也是为了更贴合各种场景的泛型应用，至少对于你我来说，封装好的红黑树已是日常开发中趁手的好工具了。
Cheers！
好，到此为止红黑树的原理解析全部完成（热烈鼓掌）！各位看官们辛苦了，今天的小知识有get到吗？
另外可以看几个简单问题来检验下学习成果呦。
1. 在无惰性检查机制时，左右节点分别为红和黑时代表了什么意义？
2. 什么时候树中的红节点占比最多？
3. 常态情况下为什么没有相连的红节点？
都看到这里了 不点个赞再走么