三角形(triangle)

$$三角形\left(\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\right)$$

题目链接：$\mathrm{S}\mathrm{S}\mathrm{L}比赛1143$

题目

平面上有 $n$ 个点，求出用这些点可以构成的三角形数。

输入

第一行一个整数 $n$ 。

接下来 $n$ 行，每行两个整数，表示点的坐标。

输出

输出仅一个整数，表示所求答案。

样例输入

5
0 0
1 1
1 -1
-1 -1
-1 1

样例输出

8

数据范围

对于 $50\%$ 的数据， $n<=300$ 。

对于 $100\%$ 的数据， $n<=3000$ ，坐标的绝对值不超过 $10^4$ ，保证没有重合的点。

思路

这道题是一道数学题。

我们可以知道，三个点不能组合成三角形，当且仅当这三个点在一条直线上，就是其中一个点和另外两个点分别组成的直线的斜率是相等的。

啥？你不知道怎么求斜率？！
行吧。

就是我们可以知道直线的函数可以表示为 $y=kx+b$ ，而斜率就是 $k$ ，可以表示出这条直线有多斜，是怎样斜的。
那我们知道直线上的两个点怎么求斜率呢？
我们设两点坐标分别为 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 。
那带进去前面的式子，就是这个：
$\{\begin{array}{l}{y}_1=k{x}_1+b\\ y_2=k{x}_2+b\end{array}$
然后我们就解二元一次方程，就可以得到：
$\{\begin{array}{l}k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\\ b=y_1-x_1\times \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\end{array}$
那我们就得到了 $k$ 。

我们可以先算出所有点中选三个点的排列有多少，然后再减去不能组合成的。
前面的排列很好求，如果点的数量是 $n$ ，那就是 $n\times (n-1)\times (n-2)/2/3$ 。
但是不能组合成的种数怎么求呢？

我们可以枚举一个点，然后求出它和所有点组成的直线的斜率。然后排序，就可以看出斜率相同的种数和每一种有多少个的。
那我们可以知道，对于每一种斜率，设有 $x$ 个这样的斜率，那答案就要减去 $x\times (x-1)/2$ 。
但是有一个特殊的东西，就是斜率不存在。
为什么会有这种情况呢，因为我们可以看到，如果这条直线是一条平行于 $y$ 轴的直线，那 $x_1$ 就会等于 $x_2$ ，就会使 $x_1-x_2=0$ ，造成除数是 $0$ 的情况。
那我们就要特殊判断一下，单独拎出来处理即可。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

ll n, x[3001], y[3001], ans;
ll shu, num, nownum;
double xie[3001];

int main() {
    
    
	scanf("%lld", &n);//读入
	for (ll i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lld %lld", &x[i], &y[i]);
	
	ans = n * (n - 1) / 2 * (n - 2) / 3;//全部排列
	for (ll i = 1; i < n; i++) {
    
    
		shu = 0;
		num = 0;
		for (ll j = i + 1; j <= n; j++)
			if (x[i] == x[j]) shu++;//图像是竖着的（特殊处理）
				else xie[++num] = (double)(y[i] - y[j]) / (double)(x[i] - x[j]);//斜率
		
		sort(xie + 1, xie + num + 1);//排序
		
		ans -= shu * (shu - 1) / 2;//特殊处理竖着的这条这线上的点
		
		nownum = 1;
		for (ll j = 2; j <= num; j++)//找到相同的斜率的数量
			if (xie[j] == xie[j - 1]) nownum++;
				else {
    
    
					ans -= nownum * (nownum - 1) / 2;//处理这个斜率上的点
					nownum = 1;
				}
		ans -= nownum * (nownum - 1) / 2;
	}
	
	printf("%lld", ans);//输出
	
	return 0;
}