乌龟棋（线性dp）

前言

乌龟棋是NOIP2010提高组的原题，是一类典型线性dp的代表题目。

题意

给定$n$个数，从左边开始走到右边。共有$m$张卡片，分成$4$种不同的类型，每种类型的卡片上分别标有$1、2、3、4$四个数字之一，表示使用这种卡片后，将向前行走相应的格子数。每次走到哪个格子，就会获得对应的数字，问走到最后，获得数字总和最大为多少。

数据范围

$1\le m\le 350$
$1\le n\le 120$
每种卡片最多有$40$张。

思路

$f(i,j,k,l)$表示四种卡片分别使用了若干张的走法的最大值。
按最后一步选择哪张卡片分成四类，以第一类卡片为例，若最后一步为$1$，则前一个状态为$f(i-1,j,k,l)$。
状态转移方程为，$f(i,j,k,l)=max(f(i,j,k,l),f(i-1,j,k,l)+a[i+j\ast 2+k\ast 3+l\ast 4])$

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 360, M = 45;

int n, m;
int a[N];
int f[M][M][M][M];

int main()
{
    
    
    int b[5] = {
    
    0};
    cin >> n >> m;
    for(int i=0;i<n;i++) cin >> a[i];
    for(int i=1;i<=m;i++){
    
    
        int x;
        cin >> x;
        b[x] ++;
    }
    for(int i=0;i<=b[1];i++)
        for(int j=0;j<=b[2];j++)
            for(int k=0;k<=b[3];k++)
                for(int l=0;l<=b[4];l++)
                {
    
    
                    int tot = a[i+j*2+k*3+l*4];
                    f[i][j][k][l] = tot;
                    if(i) f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i-1][j][k][l]+tot);
                    if(j) f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i][j-1][k][l]+tot);
                    if(k) f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i][j][k-1][l]+tot);
                    if(l) f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i][j][k][l-1]+tot);
                }
    
    cout << f[b[1]][b[2]][b[3]][b[4]] << endl;;
    return 0;
}